离散傅里叶级数(DFS)与连续傅立叶级数相比有很大的区别。最大的不同在于离散时间傅里叶级数的系数序列是周期的。
周期为N的周期序列 { a n } {\displaystyle \left\{a_{n}\right\}} ,其离散傅里叶级数为 { x k } {\displaystyle \left\{x_{k}\right\}} :
x [ k ] = ∑ ∑ --> n =< N > a n ⋅ ⋅ --> e − − --> i n ( 2 π π --> N ) k {\displaystyle x[k]=\sum _{n=<N>}a_{n}\cdot e^{-in({\frac {2\pi }{N}})k}}
其中,DFS的逆变换序列:
a n = 1 N ∑ ∑ --> k =< N > x [ k ] ⋅ ⋅ --> e i n ( 2 π π --> N ) k {\displaystyle a_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=<N>}x[k]\cdot e^{in({\frac {2\pi }{N}})k}} (k=<N>表示对一个周期N内的值求和)
连续周期信号的离散化(下面的讨论中, ω ω --> 0 = 2 π π --> T {\displaystyle \omega _{0}={\frac {2\pi }{T}}} ):