狄利克雷逼近定理

狄利克雷逼近定理（英語：Dirichlet's approximation theorem）是数论中关于丢番图逼近的一个定理。该定理可表述为：对于任意实数${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle N}$ （${\displaystyle 1\leq N}$），都存在整数${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$，满足${\displaystyle 1\leq q\leq N}$以及

${\displaystyle \left|q\alpha -p\right|\leq {\frac {1}{[N]+1}}<{\frac {1}{N}}.}$

其中${\displaystyle [N]}$表示${\displaystyle N}$的整数部分。这是丢番图逼近的一个重要结果，表明任意实数都存在一系列良好的有理近似：事实上，该定理的一个直接结果是对于给定的无理数${\displaystyle \alpha }$，存在无穷多个整数${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$满足不等式

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}.}$

狄利克雷逼近定理可由鸽笼原理证明。

参考文献

• Schmidt, Wolfgang M. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. 1980. ISBN 978-3-540-38645-2. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. 
• Schmidt, Wolfgang M. Diophantine Approximations and Diophantine Equations. Lecture Notes in Mathematics book series 1467. Springer. 1991. ISBN 978-3-540-47374-9. doi:10.1007/BFb0098246.