永田環

在交換代數中，可以根據整閉包的有限性將整環分成數類。以下均假設 ${\displaystyle A}$ 為一整環。

• ${\displaystyle A}$ 被稱作 N-1 環，若且唯若其在分式域 ${\displaystyle K}$ 中的整閉包是有限 ${\displaystyle A}$-模。
• ${\displaystyle A}$ 被稱作 N-2 環（或日本環，以紀念日本學派在此領域之貢獻），若且唯若對任何有限擴張 ${\displaystyle L/K}$， ${\displaystyle A}$ 在 ${\displaystyle L}$ 中的整閉包是有限 ${\displaystyle A}$-模。
• ${\displaystyle A}$ 被稱作泛日本環，若且唯若 ${\displaystyle A}$ 上任何有限生成的整環都是日本環。
• 一個泛日本環 ${\displaystyle A}$ 被稱作永田環（或擬幾何環），若且唯若 ${\displaystyle A}$ 也是諾特環。

註：一個代數簇的局部環或其完備化稱作幾何環，但此概念並不流行。

凡擬優環皆為永田環，所以代數幾何中處理的環幾乎都是永田環。是諾特整環而非永田環的例子首先由秋月康夫於1935年給出。

文獻

• Y. Akizuki, Einige Bemerkungenuber primare Integritatsbereiche mit Teilerkettensatz, Proc Phys-Math Soc. Japan 17 (1935) 327-366.
• V.I. Danilov, geometric ring, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• A. Grothendieck, J. Dieudonne, Eléments de géométrie algébrique （页面存档备份，存于互联网档案馆） Publ. Math. IHES , 20, section 23 (1964)
• H. Matsumura, Commutative algebra ISBN 0-8053-7026-9, chapter 12.
• Nagata, Masayoshi Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13 Interscience Publishers a division of John Wiley & Sons,New York-London 1962, 由 R. E. Krieger Pub. Co 重印 (1975) ISBN 0882752286