图示为梅滕斯函数 的前10000项与梅滕斯猜想中的界限 梅滕斯函數 （Mertens function）為一數論 中的函數，針對所有正整數 n 定义，得名自弗朗茨·梅滕斯 ，梅滕斯函數定义如下
M
(
n
)
=
∑
k
=
1
n
μ
(
k
)
{\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k)}
其中μ是默比乌斯函数 。
上述定義也可以延伸到實數 ：
M
(
x
)
=
∑
1
≤
k
≤
x
μ
(
k
)
.
{\displaystyle M(x)=\sum _{1\leq k\leq x}\mu (k).}
以較不嚴謹的說法來看，M(n)是計算到n為止的无平方数因数的数 ，其中有偶數個質因數的個數，減去有奇數個質因數的個數。
前160個梅滕斯函數的值為（OEIS 數列A002321 ）
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
M (n )
1
0
-1
-1
-2
-1
-2
-2
-2
-1
-2
-2
-3
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
n
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
M (n )
-2
-1
-2
-2
-2
-1
-1
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-1
0
0
n
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
M (n )
-1
-2
-3
-3
-3
-2
-3
-3
-3
-3
-2
-2
-3
-3
-2
-2
-1
0
-1
-1
n
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
M (n )
-2
-1
-1
-1
0
-1
-2
-2
-1
-2
-3
-3
-4
-3
-3
-3
-2
-3
-4
-4
n
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
M (n )
-4
-3
-4
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-2
-1
-1
0
1
2
2
1
1
1
1
n
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
M (n )
0
-1
-2
-2
-3
-2
-3
-3
-4
-5
-4
-4
-5
-6
-5
-5
-5
-4
-3
-3
n
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
M (n )
-3
-2
-1
-1
-1
-1
-2
-2
-1
-2
-3
-3
-2
-1
-1
-1
-2
-3
-4
-4
n
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
M (n )
-3
-2
-1
-1
0
1
1
1
0
0
-1
-1
-1
-2
-1
-1
-2
-1
0
0
梅滕斯函數緩慢的增長及減少，不論其平均值或是峰值都有類似特性，其函數以類似混沌的方式,在零的上下變化，梅滕斯函數在以下幾點的數值為零：
2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, ... （OEIS 數列A028442 ）.
利用類似質數計算的埃拉托斯特尼筛法 ，可以隨著n 的增加，計算梅滕斯函數
計算者
年份
上限
Mertens
1897
104
von Sterneck
1897
1.5×105
von Sterneck
1901
5×105
von Sterneck
1912
5×106
Neubauer
1963
108
Cohen and Dress
1979
7.8×109
Dress
1993
1012
Lioen and van de Lune
1994
1013
Kotnik and van de Lune
2003
1014
所有不大於N 正整數的梅滕斯函數可以在用O(N2/3+ε )時間內算出來，不過已知有更好的演算法。有基本的演算法可以計算單獨的M(N) ，時間複雜度為O(N2/3 *(ln ln(N))1/3 ) 。
A084237 為10的冪 下的梅滕斯函數。
因為默比乌斯函数的數值只有-1、0及+1，因此梅滕斯函數緩慢的變化，不存在正整數n 使得|M (n )| > n 。梅滕斯猜想 更進一步，認為不存在正整數n 使得梅滕斯函數的絕對值超過數值的平方根。梅滕斯猜想是由汤姆斯·斯蒂尔吉斯 在一封于1885年写给夏尔·埃尔米特 与弗朗茨·梅滕斯 的信中提出的，已在1985年被安德魯·奧德里茲科 赫爾曼·特里爾 [ 1]
黎曼猜想 等價於較弱型式的梅滕斯猜想M (n ) = O (n 1/2 + ε )。因為較高的M (n )成長的速度至少和n 的平方根一様快，因此可以對成長速率定出上下限。此處的O 為大O符号 。
^ Odlyzko, A. M.; te Riele, H. J. J., Disproof of the Mertens conjecture (PDF) , Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1985, 357 : 138–160 [2015-07-25 ] , ISSN 0075-4102 MR 0783538 Zbl 0544.10047 doi:10.1515/crll.1985.357.138 存档 (PDF) 于2015-09-12）
