在数学中，札克变换[1] [2] （英文：Zak Transform，也称盖尔范德映射）是一种变换，输入是一个一元函数，输出是一个二元函数。输出函数称为输入函数的札克变换。该变换以无穷级数定义，其中每一项都是该函数的特定取值和复指数函数的乘积。在信号处理中，札克变换的输入为时域信号，输出是该信号的混合时频表示。输入信号取值可为实值或复值，可定义在连续集（如全体实数）或离散集（如整数或整数的子集）上。札克变换是离散时间傅立叶变换的推广。 [1] [2]
札克变换在不同领域被多人独立发现，各自命名。伊斯拉埃尔·盖尔范德在其关于特征函数的工作中首次引入了这一变换，因而其也被称为盖尔范德映射。1967年，约书亚·札克独立地重新发现了这一变换，称之为“k-q表示”。本领域工作者普遍称这一变换为札克变换，因为札克首先意识到了它的应用前景，并在更一般的情况下，对其进行了更系统的研究。[1][2]
连续时间札克变换：定义
在连续时间札克变换中，假定输入函数为实变函数，设
为实变量t的函数, 的连续时间札克变换结果为一个二元函数，其中一个变量是t ，另一个变量用w表示，可由如下多种方式定义：
定义1
设a为大于0的常数，的连续时间札克变换可定义如下：[1]
={\sqrt {a}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(at+ak)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2716c01afca29abf8e2713e17ad6ebf387863084)
定义2
在定义1中，有时取a = 1。[2] 在这种情况下，的连续时间札克变换可以简化为：
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-2\pi kwi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c43d62184c3a075028d9c18b74292496c651fe)
定义3
有时，连续时间札克变换可由定义1简化为不同于定义2的另一种形式。在这种形式下， 的连续时间札克变换为：
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+k)e^{-k\nu i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03e958a39d25befa4a6fd445276fc4bb970f7c44)
定义4
设T为为大于0的常数。 的连续时间札克变换也可由下式定义：[2]
={\sqrt {T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(t+kT)e^{-2\pi kwTi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a79bff80c299271e777c4b8722027a04f18faade)
此时，t与w满足：
, 
示例
试求如下函数的札克变换：
解：
=e^{-2\pi \lceil -t\rceil wi}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ab11bd42c3ec35805b4eec37bc3b4dcef991701)
其中
表示不小于
的最小整数（ceil函数）。
札克变换的性质
以下讨论中的札克变换均采用定义二：
1.线性
设a和b为任意复数，则：
=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33ac7575e6eeca9669b6834f6797e916830a55e4)
2.周期性
=Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364571182e34ac8149fdc4f9694713001cb373c0)
3.准周期性
=e^{2\pi wi}Z[f](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa701c5ded113f55a854751c5404319e66ded1d7)
4.共轭性
={\overline {Z[f]}}(t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c119a4a1d4013401b61f7081987514013f66d7c)
5.对偶性
- 若是偶函数，则：
=Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9340d5d01aceebbb56b1b6a8371bc9c295eb9a7)
- 若是奇函数，则：
=-Z[f](-t,-w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89e675761f9de84fa1d3d6eb74a3e21c7b1517d0)
6.卷积性
令
表示对变量t的卷积：
=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ea544b7c8197316779bb619506a5cb1f409b92c)
逆变换公式
给定函数的札克变换，原函数可用下式计算：
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4052cca8190c1fb5fcc884030a68b685dd68f008)
离散札克变换：定义
设
是一个定义在整数域上的函数，即自变量n是一个整数，满足
。与连续时间札克变换相同，的离散札克变换同样是一个二元函数，其中一个自变量是
，另一个变量是一个实数，表示为
；离散札克变换同样有不同的定义，下面给出其中一种定义方式：
定义
函数的离散札克变换，记为![{\displaystyle Z[f]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e901e66f65cb937c058578ef158093ef853b3b5)
，由下式定义，其中是一个整数：
=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f(n+k)e^{-2\pi kwi}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b8e17b2749a8f92d67b64212b5f07d98c3e7f1)
逆变换公式
给定函数的离散札克变换 ，原函数可用下式计算：
\,dw.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88f2f755b0afd39e0a95f0c142fddff20caa30d)
应用
札克变换在物理学中的量子场论、 [3]电气工程中信号的时频表示与数字通信中均有应用。
参考文献