施瓦茨-克里斯托费尔映射

在数学的複分析中，施瓦茨—克里斯托费尔（Schwarz-Christoffel）映射是複平面的变换，把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用，包括极小曲面和流体力学中。施—克映射有一个缺陷，它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况，这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔和赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨。

定义

考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

${\displaystyle \{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \,\zeta >0\}}$

到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,...}$，那么映射由下式给出：

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,{\mbox{d}}w}$，

其中${\displaystyle K}$是常数，${\displaystyle a<b<c<...}$是${\displaystyle \zeta }$平面的实轴上的点的值，对应${\displaystyle z}$平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便，通常会考虑一种特殊情況，就是当${\displaystyle \zeta }$平面的无穷远点映射到${\displaystyle z}$平面的多边形其中一顶点（习惯是内角为${\displaystyle \alpha }$的顶点）。如此，公式的第一个因式实际上是个常数，可以合併进${\displaystyle K}$裡。

例子

考虑${\displaystyle z}$平面中的半无穷带。这可以视作顶点是${\displaystyle P=0}$, ${\displaystyle Q=\pi i}$和${\displaystyle R}$的三角形，当${\displaystyle R}$趋向无穷大的极限情形。极限时有${\displaystyle \alpha =0}$和${\displaystyle \beta =\gamma =\pi /2}$。假设我们要找映射f，有f(−1) = Q，f(1) = P，和f(∞) = R，那么f是

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,{\mbox{d}}w\,}$。

计算积分得到

${\displaystyle z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arccosh} \,\zeta ,}$

其中${\displaystyle C}$是个（複）积分常数。条件${\displaystyle f(-1)=Q}$和${\displaystyle f(1)=P}$给出${\displaystyle C=0}$和${\displaystyle K=1}$。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是${\displaystyle z=\operatorname {arccosh} \,\zeta }$。下图描绘这个映射。

从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射

其它简单映射

三角形

到内角为${\displaystyle \pi a}$，${\displaystyle \pi b}$和${\displaystyle \pi (1-a-b)}$的三角形的映射是

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}}}$。

正方形

从上半平面到正方形的映射是

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {{\mbox{d}}w}{\sqrt {w(w^{2}-1)}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)}$，

其中${\displaystyle F\,}$是第一类不完全椭圆积分。

广义三角形

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

参看

• 在施瓦茨—克里斯托费尔理论中出现的施瓦茨导数。

参考

• Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.

• Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.

• Darren Crowdy，[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions，Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007)，142, 319.