抽象解析数论

抽象解析数论（abstract analytic number theory）是数学的一个分支，把传统的解析数论的观点和方法应用于各种不同的数学领域中。以经典的素数定理为原型，重点关注抽象渐进分布的结果。该理论由数学家John Knopfmacher，Arne Beurling等人提出。

算术半群

该理论涉及到一个基本概念，算术半群，是满足以下性质的交换幺半群G：

• G有一个可数子集P，使得G中的每个元素${\displaystyle a\neq 1}$有唯一分解${\displaystyle a=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{r}^{\alpha _{r}}}$，其中${\displaystyle p_{i}}$是P中不同的元素，${\displaystyle \alpha _{i}}$是正整数，并且不考虑顺序。P的元素称为G的素元（prime）。
• 存在G上的实值映射${\displaystyle |\cdot |:G\to \mathbb {R} }$，称为范数（norm），使得
  1. ${\displaystyle |1|=1}$
  2. 对任意${\displaystyle p\in P}$，${\displaystyle |p|>1}$
  3. 对任意${\displaystyle a,b\in G}$，${\displaystyle |ab|=|a||b|}$
  4. 对任意实数${\displaystyle x>0}$，G中范数不超过x的元素的总个数是有限的。即${\displaystyle N_{G}(x)=\#\{a\in G:|a|\leq x\}}$

加法数系

若算术半群的底部幺半群G是自由的，则称为加法数系（additive number system）。

若范数是整数值的，则可以在G上定义计数函数${\displaystyle a(n)}$和${\displaystyle p(n)}$，其中${\displaystyle p(n)}$是P中范数为n的元素的个数，${\displaystyle a(n)}$是G中范数为n的元素的个数。令${\displaystyle A(x)=\sum _{n}{a(n)x^{n}},\quad P(x)=\sum _{n}{p(n)x^{n}}}$为对应的形式幂级数。可得基本恒等式

${\displaystyle A(x)=\prod _{n}{(1-x^{n})^{-p(n)}}}$

G的收敛半径定义为幂级数A(x)的收敛半径。

基本恒等式还有另一种形式

${\displaystyle A(x)=\exp \left({\sum _{m\geq 1}{\frac {P(x^{m})}{m}}}\right)}$

例子

• 算术半群的原型是正整数的乘法半群${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}=\{1,2,3,\cdots \}}$，素元就是通常的素数${\displaystyle P=\{2,3,5,\cdots \}}$。范数就是${\displaystyle |n|=n}$，因此${\displaystyle N_{G}(x)=\lfloor x\rfloor }$，即不超过x的最大整数。
• 设K是一个代数数域，即有理数域${\displaystyle \mathbb {Q} }$的有限扩张，K中的整数组成环${\displaystyle O_{K}}$，则${\displaystyle O_{K}}$的所有非零理想组成的集合G是算术半群，单位元是${\displaystyle O_{K}}$，理想${\displaystyle I}$的范数等于商环${\displaystyle O_{K}/I}$的基数。这种情况下，与素数定理对应的推广就是兰道素理想定理（英语：Landau prime ideal theorem），描述了${\displaystyle O_{K}}$中的理想的渐进分布。

方法与技巧

算术函数与ζ函数的用处十分广泛。可以將传统的解析数论中算术函数与ζ函数的各种方法和技巧，推广到任意的算术半群上（可能还要满足几个附加的公理）。例如下面公理：

• A公理：存在正数A与${\displaystyle \delta }$，以及常数${\displaystyle \nu \ (0\leq \nu <\delta )}$，使得${\displaystyle N_{G}(x)=Ax^{\delta }+O(x^{\nu }),\ x\to \infty }$。

对任何满足A公理的算术半群，有以下抽象素数定理：

${\displaystyle \pi _{G}(x)\sim {\frac {x^{\delta }}{\delta \log {x}}},\ x\to \infty }$

其中${\displaystyle \pi _{G}(x)}$是P中满足${\displaystyle |p|\leq x}$的元素p的总个数。

另见

• A公理，动力系统的一种性质

参考文献

• Burris, Stanley N. (2001). Number theoretic density and logical limit laws. Mathematical Surveys and Monographs. 86. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-2666-2. Zbl 0995.11001.
• Knopfmacher, John (1990) [1975]. Abstract Analytic Number Theory (2nd ed.). New York, NY: Dover Publishing. ISBN 0-486-66344-2. Zbl 0743.11002.
• Montgomery, Hugh L.; Vaughan, Robert C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge studies in advanced mathematics. 97. p. 278. ISBN 0-521-84903-9. Zbl 1142.11001.