帕斯卡蜗线 （法語：Limaçon de Pascal
a
{\displaystyle a}
O
{\displaystyle O}
O
S
{\displaystyle OS}
Q
{\displaystyle Q}
O
S
{\displaystyle OS}
Q
{\displaystyle Q}
Q
P
1
{\displaystyle QP_{1}}
Q
P
2
{\displaystyle QP_{2}}
O
S
{\displaystyle OS}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
心脏线 ，有时候有内外两支，类似蜗牛壳，故被称作“limaçon”，这个词的本义是“小蜗牛”，源于拉丁语的 “limax”。
丢勒所画出的蜗线 数学家布莱兹·帕斯卡 的父亲，艾蒂安·帕斯卡 （Étienne Pascal）也是一位数学爱好者，他曾于1637年在一封信中提到了自己对蜗线的研究。吉尔·罗伯瓦（Gilles de Roberval）曾用蜗线求过曲线的切线 ，和三等分角，他将该曲线称之为帕斯卡蜗线。科学史研究者认为艾蒂安·帕斯卡之前一百余年的德国画家阿尔布雷希特·丢勒 就曾对这一曲线进行过研究，在他1525年出版的《量度艺术教程》一书中，丢勒给出了蜗线的画法。
以定点O为极点，则帕斯卡蜗线的极坐标 方程如下：
r
=
b
+
a
cos
θ
.
{\displaystyle r=b+a\cos \theta \ .}
其中
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
通过极坐标系和直角坐标系的转换关系，可得到平面直角坐标系下的方程：
(
x
2
+
y
2
−
a
x
)
2
=
b
2
(
x
2
+
y
2
)
.
{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-ax)^{2}=b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,}
[ 1] 需注意此时的方程是以定点O为原点的，若以给定圆的圆心为原点，则方程不同。
如果使用参数方程 表示：
x
=
a
2
+
b
cos
θ
+
a
2
cos
2
θ
,
y
=
b
sin
θ
+
a
2
sin
2
θ
.
{\displaystyle x={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,\,y=b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta .}
可以转换为在复平面 里的表达式：
z
=
a
2
+
b
e
i
θ
+
a
2
e
2
i
θ
.
{\displaystyle z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.}
三种帕斯卡蜗线
a
b
<
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}<1}
尖点 。
a
b
=
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=1}
尖点 ，此时方程变为：
r
=
b
(
1
+
cos
θ
)
=
2
b
cos
2
θ
2
{\displaystyle r=b(1+\cos \theta )=2b\cos ^{2}{\theta \over 2}}
r
1
2
=
(
2
b
)
1
2
cos
θ
2
{\displaystyle r^{1 \over 2}=(2b)^{1 \over 2}\cos {\theta \over 2}}
a
b
>
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>1}
a
b
=
2
{\displaystyle {\frac {a}{b}}=2}
r
=
b
(
1
+
2
cos
θ
)
{\displaystyle r=b(1+2\cos \theta )}
r
=
2
b
cos
θ
3
{\displaystyle r=2b\cos {\theta \over 3}}
这属于玫瑰线 一类，被称为帕斯卡三等分角线 （Limaçon trisectrix）。
a
b
>>
1
{\displaystyle {\frac {a}{b}}>>1}
a
b
{\displaystyle {\frac {a}{b}}}
帕斯卡蜗线所围的面积为
(
b
2
+
a
2
2
)
π
{\displaystyle (b^{2}+{{a^{2}} \over 2})\pi }
b
<
a
{\displaystyle b<a}
(
b
2
+
a
2
2
)
(
π
−
arccos
b
a
)
+
3
2
b
a
2
−
b
2
{\displaystyle (b^{2}+{{a^{2}} \over 2})(\pi -\arccos {b \over a})+{3 \over 2}b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}
(
b
2
+
a
2
2
)
arccos
b
a
−
3
2
b
a
2
−
b
2
{\displaystyle (b^{2}+{{a^{2}} \over 2})\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}}
(
b
2
+
a
2
2
)
(
π
−
2
arccos
b
a
)
+
3
b
a
2
−
b
2
.
{\displaystyle (b^{2}+{{a^{2}} \over 2})(\pi -2\arccos {b \over a})+3b{\sqrt {{a^{2}}-{b^{2}}}}.}
帕斯卡蜗线是圆的垂足曲线的演示 若平面上有两个点O和P，则以O为圆心，且过P点的所有圆的包络线 是帕斯卡蜗线。 若给定一个圆和一点P，则从P点向圆的任何一条切线所作垂线的垂足形成的垂足曲线 是帕斯卡蜗线。 圆锥曲线 的反演 变换结果是帕斯卡蜗线，三种不同的圆锥曲线正好对应帕斯卡蜗线的三种情况：
抛物线反演后为具有绕扣的蜗线
双曲线反演后为心脏线
椭圆反演后为没有尖点和绕扣的蜗线。
^ J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves . Dover Publications. 1972: 113 –118. ISBN 0-486-60288-5 ^ 約翰·J·奧康納; 埃德蒙·F·羅伯遜 , Cartesian Oval , MacTutor数学史档案 （英语） ^ Weisstein, Eric W. (编). catacaustic . at MathWorld Wolfram Research, Inc. [2013-06-09 ] . （原始内容存档 于2020-03-19） （英语） .
Jane Grossman and Michael Grossman. "Dimple or no dimple" （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, The Two-Year College Mathematics Journal , January 1982, pages 52–55.
Howard Anton. Calculus , 2nd edition, page 708, John Wiley & Sons, 1984.
Howard Anton. [1] （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） pp. 725 – 726.
Howard Eves. A Survey of Geometry , Volume 2 (pages 51,56,273), Allyn and Bacon, 1965.
