多伽玛函数

${\displaystyle {\boldsymbol {m}}}$阶多伽玛函数是伽玛函数的第${\displaystyle ({\boldsymbol {m+1}})}$个对数导数。

${\displaystyle \psi ^{(m)}(\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m}\psi (\zeta )=\left({\frac {d}{d\zeta }}\right)^{m+1}\ln \Gamma (\zeta )}$

在这里

${\displaystyle \psi (\zeta )=\psi ^{(0)}(\zeta )={\frac {\Gamma '(\zeta )}{\Gamma (\zeta )}}}$

是双伽玛函数，${\displaystyle \Gamma (\zeta )\!}$是伽玛函数。函数${\displaystyle \psi ^{(1)}(\zeta )\!}$有时称为三伽玛函数。

伽玛函数的对数，以及最初几个多伽玛函数

${\displaystyle \ln \Gamma (\zeta )\!}$	${\displaystyle \psi ^{(0)}(\zeta )\!}$	${\displaystyle \psi ^{(1)}(\zeta )\!}$	${\displaystyle \psi ^{(2)}(\zeta )\!}$	${\displaystyle \psi ^{(3)}(\zeta )\!}$	${\displaystyle \psi ^{(4)}(\zeta )\!}$

积分表示法

多伽玛函数可以表示为：

${\displaystyle \psi ^{(m)}(\zeta )=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-\zeta t}}{1-e^{-t}}}dt}$

当Re z >0和m > 0时成立。对于m = 0，参见双伽玛函数的定义。

递推关系

多伽玛函数具有以下的递推关系：

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+(-1)^{m}\;m!\;z^{-(m+1)}.}$

乘法定理

乘法定理给出：

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

其中${\displaystyle m>1}$。对于${\displaystyle m=0}$，则是双伽玛函数：

${\displaystyle k(\psi (kz)-\log(k))=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

级数表示法

多伽玛函数有以下的级数表示法：

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}$

对m > 0和任何不等于负数的复数z都成立。还可以用赫尔维茨ζ函数来表示：

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z).}$

泰勒级数

z = 1时，泰勒级数为：

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}},}$

当|z| < 1时收敛。在这里，ζ是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推出。这个级数也可以用来推导出一些有理ζ级数。

参见

• 伽玛函数
• 双伽玛函数

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-61272-0 . 参见第§6.4（页面存档备份，存于互联网档案馆）节。