垂线偏差(英語:Vertical deflection)指地球表面上某一点处垂线方向和法线方向的差异,也即重力异常矢量的方向。[1]垂线偏差可以表示为当地天文坐标与地理坐标之间的差异,其中前者在水准面上通过重力测量的方式确定,而后者是天文坐标投影到椭球面上的位置。对垂线偏差的数学描述通常以法线为基准。[2]
设 P {\displaystyle \mathbf {P} } 为大地水准面上一点,其所处的垂线方向为 n {\displaystyle \mathbf {n} } ,通过重力测量方式测得的天文坐标为 ( Φ Φ --> , Λ Λ --> ) {\displaystyle \left(\Phi ,\Lambda \right)} 。将其沿参考椭球面的法线 n ′ {\displaystyle \mathbf {n'} } 投影至椭球面上的点 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } ,得到其地理坐标为 ( φ φ --> , λ λ --> ) {\displaystyle \left(\varphi ,\lambda \right)} 。在实际测量过程中,常以其在南北方向(即子午圈方向)上的投影 ξ ξ --> {\displaystyle \xi } 和其在东西方向(即卯酉圈方向)上的投影 η η --> {\displaystyle \eta } 描述:
设 P {\displaystyle \mathbf {P} } 点处测量得到的真实重力矢量为 g → → --> P {\displaystyle {\vec {\mathbf {g} }}_{P}} ,而 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 点处计算得到的正常重力矢量为 γ γ --> → → --> Q {\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}_{Q}} ,则 P {\displaystyle \mathbf {P} } 点处的重力异常矢量为:[1]
又设 P {\displaystyle \mathbf {P} } 点处测量得到的正常重力矢量为 γ γ --> → → --> P {\displaystyle {\vec {\mathbf {\gamma } }}_{P}} ,则 P {\displaystyle \mathbf {P} } 点处的重力扰动矢量为:[1]
重力异常矢量和重力扰动矢量的方向同为垂线偏差的方向,因为 P {\displaystyle \mathbf {P} } 、 Q {\displaystyle \mathbf {Q} } 两点的正常重力方向在同一条直线上。
大地水准面高即为两点间的距离 P Q {\displaystyle PQ} ,垂线偏差亦可表示为大地水准面高的泛函。以一过垂线的垂直面截取点 P {\displaystyle \mathbf {P} } ,垂线偏差在此平面内的分量 ε ε --> {\displaystyle \varepsilon } 与大地水准面高 N {\displaystyle N} 和大地水准面上的弧微分 d s {\displaystyle \operatorname {d} \!s} 存在如下几何关系:
习惯上取沿法线向下的方向为正,因此上式中的 − − --> d N {\displaystyle -\operatorname {d} \!N} 为负值。又因垂线偏差的分量 ε ε --> {\displaystyle \varepsilon } 是微小量,即 ε ε --> → → --> 0 {\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0} ,因此上式也可写成:
再以地球平均半径 R {\displaystyle R} 替代点 P {\displaystyle \mathbf {P} } 在各法截面上的曲率半径,得到大地水准面上弧微分的近似计算公式为
分别取垂直面分别与子午圈平行(即 d λ λ --> = 0 {\displaystyle \operatorname {d} \!\lambda =0} )和与卯酉圈平行(即 d φ φ --> = 0 {\displaystyle \operatorname {d} \!\varphi =0} ),得到垂线偏差的两个分量与大地水准面高的关系为:[2]