哈密顿路径问题

正十二面体上的哈密顿环（红色）。

图论中的经典问题哈密顿路径问题（台湾作漢米頓路徑問題）（Hamiltonian path problem）与哈密顿环问题（台湾作漢米頓環問題）（Hamiltonian cycle problem）分别是来确定在一个给定的图上是否存在哈密顿路径（一条经过图上每个顶点的路径）和哈密顿环（一条经过图上每个顶点的环）。两个问题皆为NP完全。[1]

哈密顿环问题与哈密顿路径问题之间的关系

哈密顿环问题与哈密顿路径问题之间有着很简单的关系：

• 给定图${\displaystyle G}$ ,通过加入新顶点${\displaystyle v}$ 并将新顶点与所有其他顶点连接起来，我们得到了图${\displaystyle H}$。 在图${\displaystyle G}$ 之上的哈密顿路径问题与在${\displaystyle H}$之上的哈密顿环问题等价。因此寻找哈密顿路径的速度不可能比寻找哈密顿环的速度快很多。
• 从另一个方向来看，给定图${\displaystyle G}$，给定图上一个顶点${\displaystyle v}$，通过加入新顶点给定图${\displaystyle v'}$,并且让${\displaystyle v'}$的邻居等于${\displaystyle v}$的邻居，再增加两个度为1的新顶点，并让他们分别与${\displaystyle v}$和${\displaystyle v'}$相连，得到图${\displaystyle H}$，则图${\displaystyle G}$上的哈密顿环问题与图${\displaystyle H}$上的哈密顿路径问题等价。[2]

算法

在一个阶数为${\displaystyle n}$的图中，可能成为哈密顿路径的顶点序列最多有有${\displaystyle n}$!个（在完全图的情况下恰好为${\displaystyle n}$!个)，因此暴力搜索所有可能的顶点序列是非常慢的。 一个早期的在有向图上寻找哈密顿环的算法是Martello的枚举算法[3] 由Frank Rubin[4] 提供的搜索过程将图的边分为3种类型：必须在路径上的边、不能在路径上的边和未定边。在搜索的过程中，一个决策规则的集合将未定边进行分类，并且决定是否继续进行搜索。这个算法将图分成几个部分，在它们上问题能够被单独地解决。

另外，Bellman, Held, and Karp 的动态规划算法可以在O(n^2 2^n)时间内解决问题。在这个方法中，对每个顶点集${\displaystyle S}$和其中的每一个顶点${\displaystyle v}$ ，均做出如下的判定：是否有一条经过${\displaystyle S}$中每个顶点，并且在${\displaystyle v}$结束的路径，对于每一对${\displaystyle S}$和${\displaystyle v}$，当且仅当存在${\displaystyle v}$的邻居${\displaystyle w}$满足存在一条路径经过${\displaystyle S-v}$的所有顶点，并在${\displaystyle w}$上结束的路径时，存在路径经过${\displaystyle S}$中每个顶点，并且在${\displaystyle v}$结束。这个充要条件已经可以之前的动态规划计算中确认。[5][6]

Andreas Björklund通过容斥原理将哈密尔顿环的计数问题规约成一个更简单，圈覆盖的计数问题，后者可以被通过计算某些矩阵的行列式解决。通过这个方法，并通过蒙特卡洛算法，对任意${\displaystyle n}$阶图，可以在O(1.657^n)时间内解决。对于二分图，这个算法可以被进一步提升至o(1.415^n)。[7]

对于最大度小于等于3的图，一个回溯搜索的方法可以在 O(1.251^n)时间内找到哈密顿环。[8]

哈密顿环和哈密顿路径也可以通过SAT 求解器找到。

复杂度

哈密顿环和哈密顿路径问题是FNP问题，它的决定性问题是检测是否存在一条哈密顿环或哈密顿路径。有向图和无向图上的哈密顿环问题是卡普的二十一个NP-完全问题中的其中两个。对于一些特殊类型的图来说，它们仍然是NP完全的。例如：

• 二分图[9]
• 最大度为3的无向平面图[10]
• 入度和出度最大为2的有向平面图[11]
• 无桥的无向的平面3-正则二分图
• 3-顶点连通，3-正则的二分图[12]
• square grid graph的子图[13]
• square grid graph的3-正则子图[14]

然而，对于某些类型的图，哈密顿环和哈密顿路径问题可以在多项式时间内解决：

• 根据威廉·湯瑪斯·圖特的结论，4-顶点连通 平面图总是存在哈密顿环，并且可以在线性时间内找到哈密顿环。[15] by computing a so-called Tutte path.
• 圖特通过证明2-正则平面图包含圖特路径，证明了以上的结论。对2-正则平面图来说，其圖特路径可以在平方时间内找到，[16]这可能可以被用来寻找一般平面图上的哈密顿环和较长的环。

将以上提供的条件汇总起来，3-正则，3-定点连通的二分图是否总是存在哈密顿环这一问题仍然是开放的，在这个情况下这一问题不是NP完全的，详见Barnette猜想（英语：Barnette's conjecture）。

在所有顶点的度都是奇数的途中，一个与握手引理有关的结论说明对于任意一条边来说，经过它的哈密顿环的个数总是偶数，因此如果存在一条哈密顿环，则一定存在另一条 [17] 然而，找到第二条哈密顿换并不是一个简单的计算问题。Papadimitriou定义了一个复杂性类 PPA来描述这一类问题。 [18]

外部連結

• Hamiltonian Page : Hamiltonian cycle and path problems, their generalizations and variations

1. Michael R. Garey and David S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness, W.H. Freeman, 1979, ISBN 978-0-7167-1045-5  A1.3: GT37–39, pp. 199–200.
2. Reduction from Hamiltonian cycle to Hamiltonian path
3. Martello, Silvano, An Enumerative Algorithm for Finding Hamiltonian Circuits in a Directed Graph, ACM Transactions on Mathematical Software, 1983, 9 (1): 131–138, doi:10.1145/356022.356030 
4. Rubin, Frank, A Search Procedure for Hamilton Paths and Circuits, Journal of the ACM, 1974, 21 (4): 576–80, doi:10.1145/321850.321854 
5. Bellman, R., Dynamic programming treatment of the travelling salesman problem, Journal of the ACM, 1962, 9: 61–63, doi:10.1145/321105.321111 .
6. Held, M.; Karp, R. M., A dynamic programming approach to sequencing problems (PDF), J. SIAM, 1962, 10 (1): 196–210 [2020-10-03], doi:10.1137/0110015, hdl:10338.dmlcz/103900, （原始内容存档 (PDF)于2019-09-22） 。
7. Björklund, Andreas, Determinant sums for undirected Hamiltonicity, Proc. 51st IEEE Symposium on Foundations of Computer Science (FOCS '10): 173–182, 2010, ISBN 978-1-4244-8525-3, arXiv:1008.0541 , doi:10.1109/FOCS.2010.24 。
8. Iwama, Kazuo; Nakashima, Takuya, An improved exact algorithm for cubic graph TSP, Proc. 13th Annual International Conference on Computing and Combinatorics (COCOON 2007), Lecture Notes in Computer Science 4598: 108–117, 2007, ISBN 978-3-540-73544-1, doi:10.1007/978-3-540-73545-8_13 。
9. Proof that the existence of a Hamilton Path in a bipartite graph is NP-complete. Computer Science Stack Exchange. [2019-03-18]. 
10. Garey, M. R.; Johnson, D. S.; Stockmeyer, L., Some simplified NP-complete problems, Proc. 6th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC '74): 47–63, 1974, doi:10.1145/800119.803884 .
11. Plesńik, J., The NP-completeness of the Hamiltonian cycle problem in planar digraphs with degree bound two (PDF), Information Processing Letters, 1979, 8 (4): 199–201 [2020-10-03], doi:10.1016/0020-0190(79)90023-1, （原始内容存档 (PDF)于2020-11-25） .
12. Akiyama, Takanori; Nishizeki, Takao; Saito, Nobuji, NP-completeness of the Hamiltonian cycle problem for bipartite graphs, Journal of Information Processing, 1980–1981, 3 (2): 73–76, MR 0596313 .
13. Itai, Alon; Papadimitriou, Christos; Szwarcfiter, Jayme, Hamilton Paths in Grid Graphs, SIAM Journal on Computing, 1982, 4 (11): 676–686, doi:10.1137/0211056 .
14. Buro, Michael, Simple Amazons endgames and their connection to Hamilton circuits in cubic subgrid graphs (PDF), Conference on Computers and Games, Lecture Notes in Computer Science 2063: 250–261, 2000 [2020-10-03], ISBN 978-3-540-43080-3, doi:10.1007/3-540-45579-5_17, （原始内容存档 (PDF)于2020-11-06） .
15. Chiba, Norishige; Nishizeki, Takao, The Hamiltonian cycle problem is linear-time solvable for 4-connected planar graphs, Journal of Algorithms, 1989, 10 (2): 187–211, doi:10.1016/0196-6774(89)90012-6 
16. Schmid, Andreas; Schmidt, Jens M., Computing Tutte Paths, Proceedings of the 45th International Colloquium on Automata, Languages and Programming (ICALP'18), to appear., 2018 
17. Thomason, A. G., Hamiltonian cycles and uniquely edge colourable graphs, Advances in Graph Theory (Cambridge Combinatorial Conf., Trinity College, Cambridge, 1977), Annals of Discrete Mathematics 3: 259–268, 1978, ISBN 9780720408430, MR 0499124, doi:10.1016/S0167-5060(08)70511-9 .
18. Papadimitriou, Christos H., On the complexity of the parity argument and other inefficient proofs of existence, Journal of Computer and System Sciences, 1994, 48 (3): 498–532, MR 1279412, doi:10.1016/S0022-0000(05)80063-7 .