卡比演算

在數學上,卡比演算是一個在几何拓扑学中用三維球面上有限多的形變步驟(卡比形變,英語:kirby moves)的集合使框连接英语framed link產生形變的方法。它以羅比恩·卡比之名命名。羅比恩·卡比證明了若M與N皆為三維流形 ,且它們分別是從L和J這兩個框連結上進行Dehn手术英语Dehn surgery所得的,則它們是同胚的,當且僅當L和J藉由一連串的卡比形變產生關聯。根據Lickorish-Wallace定理英语Lickorish-Wallace theorem,任意閉合可定向的三維流形皆可由對三維球面裡的某些連結進行Dehn手術得到。

一個擴張的圖像和形變集合被用以描述四維流形。一個在三維球體中的框連結暗示著二維手柄對四維球的依附(此流形的三維邊界是上述連結圖的三維流形描述)。一維手柄可由兩個三維球(一維手柄的依附區)或(更常見地)有著點的非紐結化圓表示。這個點表示著一個標準有界的二維圓盤的鄰域,也就是有著點的圓,會被從四維球的內部切除。切除這個二維手柄相當於加上一個一維手柄。三維和四維的手柄通常不會在圖中指示出來。

手柄解構

  • 一個閉合平滑的四維流形M通常會用手柄结构英语handle decomposition描述。
  • 一個零維手柄就是一個球,而其依附映射英语attaching map是不交並的。
  • 一個一維手柄是沿著兩個不相交的三維依附的。
  • 一個二維手柄是沿著一個立体环面英语solid torus依附的。由於這個固體環嵌於一個三維流形中,四維流形上的手柄解構和三維流形上的紐結理論之間有關係。
  • 一對指數相差1的手柄,當其中心以一個足夠簡單的方法連結時,它們可以消除而不會改變下面的流形。同樣,這些對可以創造。

在一個平滑四維流形中,兩個不同平滑手柄體(handlebody)的解構跟依附映射的同痕有限序列,以及手柄對的創造和消除(creation/cancellation)有關聯。


參見

參考文獻

  • Rob Kirby, "A Calculus for Framed Links in S3".  Inventiones Mathematicae, vol. 45, 1978, pgs. 35-56.
  • Robert Gompf and Andras Stipsicz, 4-Manifolds and Kirby Calculus, (1999) (Volume 20 in Graduate Studies in Mathematics), American Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-0994-6