偽球面 （英語：pseudosphere ，又譯擬球面 ）是幾何學 中高斯曲率 恆為負的平面。一半徑
R
{\displaystyle R}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
−
1
/
R
2
{\displaystyle \textstyle -1/R^{2}}
R
{\displaystyle R}
1
/
R
2
{\displaystyle \textstyle 1/R^{2}}
贝尔特拉米 於1868年雙曲幾何 模型的論文提出。[ 1] [ 2] [ 3] 曳物線 繞其漸近線的旋轉曲面 。
旋轉跟蹤曲面（Tractricoid ）
对于
x
O
z
{\displaystyle xOz}
参数方程 为
(
x
,
z
)
=
(
t
−
tanh
(
t
)
,
s
e
c
h
(
t
)
)
,
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle (x,z)=(t-\tanh(t),\mathrm {sech} (t)),0\leq t<\infty }
当其绕z轴旋转一圈时，根据旋转曲面 的一般参数方程[ 4]
{
x
=
(
t
−
tanh
(
t
)
)
⋅
cos
(
θ
)
,
y
=
(
t
−
tanh
(
t
)
)
⋅
sin
(
θ
)
,
z
=
s
e
c
h
(
t
)
.
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=(t-\tanh(t))\cdot \cos(\theta ),\\y=(t-\tanh(t))\cdot \sin(\theta ),\\z=\mathrm {sech} (t).\end{matrix}}\right.}
0
≤
θ
≤
2
π
,
0
≤
t
<
∞
{\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi ,0\leq t<\infty }
该方程即为曳物面方程，又称伪球面方程。
伪球面是一个奇异空间 (赤道上的点为奇点 ) 。但在奇点外，它具有恒定的负高斯曲率，因此局部等距于双曲面 。
“伪球”这个名字的产生是因为它是一个有恒定负高斯曲率的二维曲面，和一个球有恒定正高斯曲率恰恰相反。就像球体在每一点上都有一个正曲率的球面几何 一样，伪球在除奇点每一点上都有一个负曲率的双曲几何 。
早在1693年，惠更斯 (Christiaan Huygens)就发现尽管其旋转后的范围是无限的, 但伪球的体积和表面积是有限的。对于给定的伪半径 R，伪球的表面积是
4
π
R
2
{\displaystyle 4\pi R^{2}}
