伯恩赛德引理

伯恩赛德引理（英語：Burnside's lemma），也叫伯恩赛德计数定理（Burnside's counting theorem），柯西-弗罗贝尼乌斯引理（Cauchy-Frobenius lemma）或轨道计数定理（orbit-counting theorem），是群论中一个结果，在考虑对称的计数中经常很有用。该结论被冠以多个人的名字，其中包括威廉·伯恩赛德（英语：William Burnside）、波利亚、柯西和弗罗贝尼乌斯。这个命题不属于伯恩赛德自己，他只是在自己的书中《有限群论 On the Theory of Groups of Finite Order》引用了，而将其归于弗罗贝尼乌斯 (1887)[1]。

下文中，设 ${\displaystyle G}$ 是一个有限群，作用在集合 ${\displaystyle X}$ 上。对每个属于 ${\displaystyle G}$ 的 ${\displaystyle g}$ ，令 ${\displaystyle X^{g}}$ 表示 ${\displaystyle X}$ 中在 ${\displaystyle g}$ 作用下的不动元素。伯恩赛德引理断言轨道数（记作 ${\displaystyle |X/G|}$）由如下公式给出：[2]

${\displaystyle |X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|.\,}$

从而轨道数（是一个自然数或无穷）等于被 G 中一个元素保持不动的点个数的平均值（故同样是自然数或无穷）。

应用举例

環狀排列

使用兩種顏色對三個珠子染色，共有${\displaystyle 2^{3}=8}$種染色方法，而只有四種旋轉後不重合的染色方法，用二元數列表示為${\displaystyle 000,001,011,111}$。旋轉對稱將染色方法的集合X分為四個軌道：${\displaystyle X=\{000\}\cup \{001,010,100\}\cup \{011,101,110\}\cup \{111\}}$。考慮三種可能的旋轉：「空旋轉」，順時針轉一個單位，順時針轉兩個單位；它們對應的不動點數目分別為8，2，2，因此軌道數為${\displaystyle {\frac {1}{3}}(8+2+2)=4}$。對於長度為4的環狀排列，共有16種染色方法，4個旋轉；0個單位的旋轉有16個不動點，1個單位和3個單位的旋轉有不動點0000,1111；2個單位的旋轉有不動點0000,0101,1010,1111。因此軌道數為${\displaystyle {\frac {1}{4}}(16+2+4+2)=6}$。具體地，0000,0001,0011,0101,0111,1111為六種旋轉後不重合的染色方法。

立方體染色

使用三種顏色對立方體的六個面染色，將旋轉后相同的視為一種染色，染色方式總數可以由上述公式確定。

選取一個定向，設${\displaystyle X}$是這個定向立方體所有${\displaystyle 3^{6}}$種可能面染色組合，立方體的旋轉群${\displaystyle G}$顯然是作用在${\displaystyle X}$上的群。且若${\displaystyle X}$的兩個元素（染色組合）屬于同一軌道，則其中一個染色可以通過旋轉變成另一個染色，因而考慮旋轉對稱後不同的染色數就是${\displaystyle X}$關於${\displaystyle G}$的軌道数，可以通過數${\displaystyle G}$的${\displaystyle 24}$個元素的不動集合的大小求出來。

立方體面染色

• 一個恒同元素保持 X 的所有 3^6 個元素不變。
• 六個 90 度面旋轉，每一個保持 X 的 3^3 個元素不變。[3]
• 三個 180 度面旋轉，每一個保持 X 的 3^4 個元素不變。
• 八個 120 度頂點旋轉，每一個保持 X 的 3^2 個元素不變。
• 六個 180 度邊旋轉，每一個保持 X 的 3^3 個元素不變。

這些自同構的詳細檢驗可參見循環指標（英语：Cycle index）。

這樣，平均不動集合的大小是

${\displaystyle {\frac {1}{24}}(3^{6}+6\times 3^{3}+3\times 3^{4}+8\times 3^{2}+6\times 3^{3})=57.\,}$

從而有 57 種旋轉不同的立方體面 3 色染色方式。一般地，使用 n 種顏色，立方體不同的旋轉面染色數是

${\displaystyle {\frac {1}{24}}(n^{6}+3n^{4}+12n^{3}+8n^{2}).\,}$

证明

定理的證明利用軌道-中心化子定理以及 X 是軌道的不交并的事實：

${\displaystyle \sum _{g\in G}|X^{g}|=|\{(g,x)\in G\times X\mid g\cdot x=x\}|=\sum _{x\in X}|G_{x}|}$

${\displaystyle =\sum _{x\in X}{\frac {|G|}{|G.x|}}=|G|\sum _{x\in X}{\frac {1}{|G.x|}}=|G|\sum _{A\in X/G}\sum _{x\in A}{\frac {1}{|A|}}}$

${\displaystyle =|G|\sum _{A\in X/G}1=|G|\cdot |X/G|.}$

历史：该引理不属于伯恩赛德

威廉·伯恩賽德在他1897年關于有限群的書中陳述并證明了這個引理，將其歸于弗罗贝尼乌斯 1887。不過在弗羅貝尼烏斯以前，這個公式在1845年已經為柯西所知。事實上，這個引理明顯如此有名，伯恩賽德不過忽略了將其歸于柯西。因此，這個引理有時候也稱為不是伯恩賽德的引理 [4]。這可能看起來不那么有歧義，伯恩賽德對這個領域貢獻了許多引理。

注释

1. 伯恩赛德 1897，§119
2. Rotman 1995，Chapter 3
3. 「90 度面旋轉」指選定一個面面向自己，將立方體逆時針旋轉90度，立方體六個面所對應的面旋轉都不同，因而共有六個「90 度面旋轉」。若將面向自己的一面標記為1號，背向自己的一面為6號，其他四個面逆時鐘方向分別標記為2345號，則此旋轉對效於對換（5234）。若一染色為不動點，則不被旋轉軸所經過的四個面的顏色必須全部相同，有三個獨立染色自由度，所以有3^自由度 = 3^3 個不動點。
4. 紐曼 1979

另见

• 波利亞計數定理

参考文献

• 伯恩赛德, 威廉, Theory of groups of finite order, Cambridge University Press, 1897 .
• 弗罗贝尼乌斯, 费迪南德·格奥尔格, Ueber die Congruenz nach einem aus zwei endlichen Gruppen gebildeten Doppelmodul, Crelle, 1887, CI: 288 .
• 紐曼, 彼得·邁克爾, A lemma that is not Burnside's, The Mathematical Scientist, 1979, 4 (2): 133–141, ISSN 0312-3685, MR562002 .
• Cheng, Yuanyou (程远游), A generalization of Burnside's lemma to multiply transitive groups, journal of Hubei University of Technology, 1986, ISSN 1003-4684 .
• Rotman, Joseph, An introduction to the theory of groups, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94285-8 .