vi Ma tr%E1%BA%ADn kh%E1%BA%A3 ngh%E1%BB%8Bch

Trong đại số tuyến tính, một ma trận khả nghịch hay ma trận không suy biến là một ma trận vuông và có ma trận nghịch đảo trong phép nhân ma trận.

Định nghĩa

Ma trận đơn vị

Ma trận đơn vị cấp n trên vành có đơn vị V là ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử trên đường chéo chính bằng đơn vị, tất cả các phần tử khác bằng không.

E_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdot &\cdot &0\\0&1&\cdot &\cdot &0\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\0&0&\cdot &\cdot &1\end{bmatrix}}

Tính chất của ma trận đơn vị: với mọi ma trân vuông cùng cấp AE=EA=A.

Ma trận khả nghịch và ma trận nghịch đảo của nó

Ma trận A vuông cấp n được gọi là khả nghịch trên V nếu tồn tại ma trận A' cùng cấp n sao cho A A' = A' A = E. Khi đó A' được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu là A⁻¹.

Các tính chất

Điều kiện cần và đủ để ma trận A vuông cấp n khả nghịch là định thức của A là phần tử khả nghịch trong vành V.
Nếu A là ma trận trên một trường F thì A là khả nghịch khi và chỉ khi định thức của nó khác 0.
Ma trận đơn vị là ma trận khả nghịch.
Nếu A, B là các ma trận khả nghịch thì AB khả nghịch và $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}.$
Tập hợp tất cả các ma trận vuông khả nghịch cấp n tạo thành một nhóm với phép nhân ma trận

Tìm ma trận nghịch đảo

Định thức con và phần bù đại số

Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử a_ij. Định thức của ma trận cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi là định thức con của A ứng với phần tử a_ij, ký hiệu là M_ij.
Định thức con M_ij với dấu bằng (-1)^i+j được gọi là phần bù đại số của phần tử a_ij, ký hiệu là A_ij.

Ví dụ: Cho ma trận

A={\begin{bmatrix}1&1&1\\0&2&1\\0&0&3\end{bmatrix}}

.

Khi đó

A_{11}=(-1)^{2}{\begin{vmatrix}2&1\\0&3\end{vmatrix}}=6

Tương tự A₁₂=0; A₁₃=0; A₂₁=-3;A₂₂=3;A₂₃=0;A₃₁=-1;A₃₂=-1;A₃₃=2;

Công thức tính ma trận nghịch đảo

Nếu định thức của ma trận A là khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được tính bằng công thức:

A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdot &A_{n1}\\A_{12}&A_{22}&\cdot &A_{n2}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\A_{1n}&A_{2n}&\cdot &A_{nn}\end{bmatrix}}

Các bước tìm ma trận nghịch đảo

Bước 1: Tính định thức của ma trận A
Nếu det(A)=0 thì A không có ma trận nghịch đảo $A^{-1}$

Nếu det(A)≠0 thì A có ma trận nghịch đảo $A^{-1}$ , chuyển sang bước 2
Bước 2: Lập ma trận chuyển vị A' của A.
Bước 3: Lập ma trận phụ hợp của A' được định nghĩa như sau
$A^{*}=(A'_{ij})_{nn}$

với $A'=(A'_{ij})$ là phần bù đại số của phần tử ở hàng i, cột j trong ma trận A'.
Bước 4: Tính ma trận $A^{-1}={\frac {1}{det(A)}}A^{*}$