|
Giải thuật Bresenham vẽ đoạn thẳngGiải thuật vẽ đoạn thẳng của Bresenham (tiếng Anh: Bresenham's line algorithm) là giải thuật xác định các điểm raster hai chiều cần vẽ để nhận được xấp xỉ gần đúng của đoạn thẳng có hai đầu mút là 2 điểm cho trước. Đây là một trong những thuật toán cổ nhất trong đồ họa máy tính. Thuật toán này được Jack E. Bresenham thiết kế vào năm 1962 tại công ty IBM. Thuật toán được sử dụng rộng rãi, đặc biệt để vẽ đoạn thẳng trên màn hình máy tính. Nó chỉ sử dụng các lệnh cộng trừ số học và lệnh trên pixel, có chi phí rẻ và phù hợp với kiến trúc sơ khai của máy tính. Đây là một trong những giải thuật đồ họa máy tính phát triển sớm nhất. Sự mở rộng của giải thuật này là giải thuật vẽ các đường cong bậc 2. Mặc dù các giải thuật khác như giải thuật Xiaolin Wu cũng thường được sử dụng trong đồ họa máy tính hiện đại vì có tính năng khử răng cưa (tiếng Anh: antialiasing), nhưng tốc độ và sự đơn giản của giải thuật Bresenham cho thấy nó vẫn còn quan trọng. Giải thuật được tích hợp lên phần cứng như plotter hay lên chip đồ họa của những card đồ họa hiện đại. Nó cũng được tìm thấy trong nhiều phần mềm thư viện đồ họa. Bởi vì giải thuật cực kì đơn giản, nên nó thường được thực hiện cả trong firmware lẫn trong phần cứng của card đồ họa hiện đại. Ngày nay nhãn hiệu "Bresenham" được dùng cho cả họ giải thuật biến đổi hoặc mở rộng giải thuật Bresenham nguyên thủy. Xin hãy xem thêm phần tham khảo bên dưới. Giải thuật Bresenham Đoạn thẳng được vẽ giữa hai điểm (x0,y0) và (x1,y1), trong đó x0, x1 là các tọa độ cột, còn y0,y1 là các tọa độ hàng, số thứ tự của chúng tăng dần từ trái sang phải và từ trên xuống dưới. Giải thuật ban đầu sẽ được trình bày chỉ cho trường hợp góc phần tám, trong đó đoạn thẳng đi xuống và sang phải (x0≤x1 và y0≤y1), và hình chiếu ngang của nó dài hơn hình chiếu đứng (đường thẳng có hệ số góc nhỏ hơn 1 và lớn hơn 0), hay góc nghiêng của đường thẳng so với phương ngang nhỏ hơn 45 độ. Trong góc phần tám này, với mỗi cột x nằm giữa và , có chính xác một hàng y (được tính bởi giải thuật) chứa một pixel của đường thẳng, trong khi đó mỗi hàng nằm giữa và có thể chứa nhiều rasterized pixels. Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm: Vì chúng ta biết cột = x, nên hàng của pixel - y được tính bằng cách làm tròn giá trị sau đây đến số nguyên gần nhất: Tuy nhiên, tính giá trị chính xác của biểu thức này là không cần thiết, cần chú ý rằng y tăng từ y0 và sau mỗi bước chúng ta thêm vào x một đơn vị và thêm vào y giá trị của hệ số góc s = . Hệ số góc s chỉ phụ thuộc vào các tọa độ điểm mút nên có thể tính trước được. Hơn nữa, ở mỗi bước chúng ta chọn làm một trong hai việc: hoặc là giữ nguyên y, hoặc là tăng y lên 1 đơn vị. Có thể giải quyết việc lựa chọn này bằng cách lần theo giá trị sai số. Giá trị sai số là khoảng cách giữa giá trị y hiện tại và giá trị y chính xác đối với x hiện tại. Mỗi lần khi chúng ta tăng x, chúng ta sẽ tăng thêm vào giá trị sai số một đại lượng s, s là hệ số góc nói ở trên. Nếu sai số vượt quá 0.5, rasterization y sẽ được tăng thêm 1 (đường thẳng tiếp tục trên hàng raster bên dưới tiếp theo) và sai số giảm đi 1.0. Trong mẫu mã giả dưới đây function line(x0, x1, y0, y1) int deltax:= x1 - x0 int deltay:= y1 - y0 real error:= 0 real deltaerr:= deltay / deltax // Giả định deltax!= 0 (đường thẳng không thẳng đứng), // chú ý: phép chia này cần được thực hiện sao cho nó có thể giữ lại phần thập phân int y:= y0 for x from x0 to x1 plot(x,y) error:= error + deltaerr if abs(error) ≥ 0.5 then y:= y + 1 error:= error - 1.0 Tổng quát hóaPhiên bản ở trên chỉ điều khiển đường đi xuống về bên phải. Tất nhiên mong muốn của chúng ta là có thể vẽ được tất cả các đường. Trường hợp đầu tiên cho phép chúng ta vẽ các đường có hệ số gốc dốc xuống nhưng có đầu ở hướng đối diện. Việc này rất đơn giản nhờ việc tráo các điểm khởi tạo nếu function line(x0, x1, y0, y1) boolean steep:= abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0) if steep then swap(x0, y0) swap(x1, y1) if x0 > x1 then swap(x0, x1) swap(y0, y1) int deltax:= x1 - x0 int deltay:= abs(y1 - y0) real error:= 0 real deltaerr:= deltay / deltax int ystep int y:= y0 if y0 < y1 then ystep:= 1 else ystep:= -1 for x from x0 to x1 if steep then plot(y,x) else plot(x,y) error:= error + deltaerr if error ≥ 0.5 then y:= y + ystep error:= error - 1.0 Bây giờ, hàm điều khiển tất cả các đường và thực hiện giải thuật Bresenham trọn vẹn. Tối ưu hóaPhương pháp này có vấn đề ở chỗ các máy tính hoạt động tương đối chậm trên các số thập phân như function line(x0, x1, y0, y1) boolean steep:= abs(y1 - y0) > abs(x1 - x0) if steep then swap(x0, y0) swap(x1, y1) if x0 > x1 then swap(x0, x1) swap(y0, y1) int deltax:= x1 - x0 int deltay:= abs(y1 - y0) int error:= deltax / 2 int ystep int y:= y0 if y0 < y1 then ystep:= 1 else ystep:= -1 for x from x0 to x1 if steep then plot(y,x) else plot(x,y) error:= error - deltay if error < 0 then y:= y + ystep error:= error + deltax Đơn giản hóaCó thể bỏ bớt hàm swap khi tính toán biến err ở cả hai hướng cùng lúc: function line(x0, y0, x1, y1) dx:= abs(x1-x0) dy:= abs(y1-y0) if x0 < x1 then sx:= 1 else sx:= -1 if y0 < y1 then sy:= 1 else sy:= -1 err:= dx-dy loop setPixel(x0,y0) if x0 = x1 and y0 = y1 exit loop e2:= 2*err if e2 > -dy then err:= err - dy x0:= x0 + sx end if if e2 < dx then err:= err + dx y0:= y0 + sy end if end loop Lịch sửThuật toán được phát triển bởi Jack E. Bresenham vào năm 1962 tại công ty IBM. Vào năm 2001 Bresenham đã viết:[1]
Giải thuật Bresenham sau đó được biến đổi để tạo ra các đường tròn, đôi khi nó được biết đến với tên gọi là "giải thuật đường tròn Bresenham" hay giải thuật điểm giữa đường tròn (tiếng Anh: midpoint circle algorithm). Các giải thuật tương tựGiải thuật Bresenham có thể được hiểu là biến đổi nhỏ của thuật toán DDA (dùng 0.5 là ngưỡng sai số thay cho 0, phép raster hóa đa giác không chồng chập cần 0). Nguyên tắc sử dụng sai số tăng thay cho phép tính chia có các ứng dụng khác trong đồ họa. Có thể dùng kĩ thuật này để tính các tọa độ U, V trong quá trình quét raster của kết cấu đa giác ánh xạ (texture mapped polygon). Các lõi phần mềm dựng hình heightmap voxel thấy trong các trò chơi máy tính cũng đã sử dụng nguyên tắc này. Bresenham cũng đã công bố giải thuật tính toán Run-Slice (trái ngược với Run-Length). Một mở rộng của giải thuật Bresenham để điều khiển các đường có bề dày được tạo ra bởi Alan Murphy ở IBM. Xem thêm
Tham khảo
Đọc thêm
Liên kết ngoài
|
||||||
