Định lý con bướm

Minh họa định lý con bướm.

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi ${\displaystyle X'}$ và ${\displaystyle X''}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi ${\displaystyle Y'}$ và ${\displaystyle Y''}$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Chứng minh của định lý con bướm.

Do

${\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY'}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'}}$

${\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY''}$

${\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''}}$

${\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY''}$

${\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY}}$

${\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY'}$

${\displaystyle {XX'' \over YY''}={DX \over BY}}$

Mở rộng của Sharygin

Từ các đẳng thức trên, ta có

${\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}.{XX'' \over YY''}={AX.DX \over CY.BY}}$

${\displaystyle ={PX.QX \over PY.QY}}$ (xem Phương tích)

${\displaystyle ={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

${\displaystyle {MX^{2} \over MY^{2}}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}={PM^{2} \over PM^{2}}=1}$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.

Tham khảo

Liên kết ngoài

• Định lý con bướm tại Cut-The-Knot.
• Một định lý con bướm tổng quát hơn tại Cut-The-Knot.
• Chứng minh Định lý con bướm tại PlanetMath.
• Weisstein, Eric W., "Butterfly Theorem" từ MathWorld.