Ніко Галешич народився у Берліні і займатися футболом починав у школі місцевого клубу «Герта». У 2019 році він повернувся до Хорватії, де приєднався до «Рієки». І 25 липня 2020 року дебютував у першій команді в чемпіонаті Хорватії.[1] У тому ж році разом з клубом виграв Кубок Хорватії.
У січні 2022 року до кінця сезону Галешич відбув в оренду до клубу «Хрватскі Драговоляц».[2] Влітку 2022 року після закінчення оренди футболіст повернувся до «Рієки».