У дорослому футболі дебютував 1993 року виступами за команду клубу «М'єльбю». Він швидко завоював місце основного воротаря команди і за чотири сезони провів більше 100 матчів у всіх турнірах.
У 1997 році Маттіас перейшов у АІК. На початку він був дублером Лі Бакстера, але через три місяці виграв конкуренцію за місце основного голкіпера. У 1998 році Аспер видав рекордну «суху» серію у 797 хвилин і допоміг клубу з Сольни виграти Аллсвенкан лігу, а через рік завоювати Суперкубок Швеції. У 1999 році він допоміг АІКу кваліфікуватися до Ліги чемпіонів.
У тому ж році Маттіас повернувся на батьківщину, підписавши контракт з «Мальме». З новою командою в 2004 році він вдруге став чемпіоном Швеції. За три роки Аспер зіграв понад 100 матчів у всіх турнірах за клуб. У 2005 році він покинув «Мальме» і без особливого успіху виступав за норвезький«Вікінг» та шведську «Броммапойкарну».
У 2008 році Маттіас повернувся в рідний «М'єльбю». Він був призначений капітаном команди і вже через рік допоміг клубу повернутися в еліту. 15 вересня 2010 року в матчі проти «Геккена» Аспер забив свій перший гол у кар'єрі[1]. Завершив професійну кар'єру футболіста виступами за «М'єльбю» у 2015 році.