Народився 9 лютого1976 року в місті Лорето. Вихованець футбольної школи клубу «Торіно». У дорослому футболі дебютував 1992 року виступами за аматорську команду «Реканатезе», в якій провів два сезони, взявши участь у 35 матчах чемпіонату.
1994 року повернувся до «Торіно», де виступав виключно за молодіжну команду, вигравши турнір Віареджо в 1995 році. Так і не пробившись до першої команди туринців, Поссанціні того ж року покинув клуб і виступав за нижчолігові «Лекко», «Варезе» та «Реджину». У складі останньої Поссанціні створив атакувальний дует з Фабіо Артіко, і 1999 року допоміг команді вперше у своїй історії вийти до вищого дивізіону країни. Давіде дебютував у Серії А 29 серпня 1999 року в поєдинку проти «Ювентуса» (1:1) і за півтора роки провів з командою 41 матч у елітному дивізіоні, забивши 4 голи.
В січні 2001 року Поссанціні перейшов до клубу Серії В «Сампдорія», ставши частиною трансферу по переходу Давіде Діоніджі у зворотному напрямку, де провів півтора роки, після чого пограв за інші команди другого італійського дивізіону «Катанія» та «АльбіноЛеффе».
У січні 2005 року нападник підписав контракт з вищоліговим «Палермо», але у команді не закріпився, зігравши до кінця сезону лише 2 гри чемпіонату через травму меніска[1], а вже в липні 2005 року Поссанціні повернувся до Серії В, ставши гравцем «Брешії», яка отримала гравця як частину оплати за перехід Андреа Караччоло[2]. Давіде відіграв за клуб з Брешії наступні шість сезонів своєї ігрової кар'єри. Більшість часу, проведеного у складі «Брешії», був основним гравцем атакувальної ланки команди, а з сезону 2006/07 і капітаном команди. Наприкінці сезону 2009/10 років «Брешія» виграла фінал плей-оф за вихід до Серії А, обігравши «Торіно» 2:1, а Поссанціні забив 1 гол у тій грі. За підсумками наступного сезону команда Давіде посіла передостаннє місце елітного дивізіоні і знову вилетіла до Серії В, після чого нападник покинув клуб. Загалом за команду Поссанціні провів понад 200 ігор в усіх турнірах.
У другій половині 2011 року Поссанціні захищав кольори швейцарського клубу «Лугано»[3], а завершив ігрову кар'єру у команді італійської Серії C1«Кремонезе» 2012 року через проблеми із серцем[4].
Кар'єра тренера
По завершенні кар'єри гравця Поссанціні повернувся до «Брешії», де працював тренером юнацьких та резервних команд[5].
2016 року увійшов до тренерського штабу Роберто Де Дзербі у «Фоджі», і в подальшому працював у штабі цього тренера у «Палермо», «Беневенто» та «Сассуоло». У червні 2021 року, після переходу Де Дзербі на роботу головного тренера до донецького«Шахтаря», Поссанціні також увійшов до тренерського штабу української команди[6]. У травні 2022 року покинув клуб[7], після чого наступного місяця повернувся до «Брешії», де знову став працювати з юнаками[8].