Q-функція Маркума

У статистиці Q-функція Маркума ${\displaystyle Q_{M}}$ визначається як

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx}$

або як

${\displaystyle Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)}$

де ${\displaystyle I_{M-1}}$ модифікована функція Бесселя порядку М − 1. Q-функція Маркума використовується, наприклад, як функція розподілу (точніше, як функція виживання) для нецентрованого хі розподілу, нецентрованого хі-квадрат розподілу та розподілу Райса.

Для нецілих значень M Q-функцію можна визначити наступним чином[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-e^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle P(s,x)}$ - регуляризована гамма-функція.

Q-функція Маркума є монотонною та логарифмічно ввігнутою[2].

Джерела

1. A. Annamalai, C. Tellambura and John Matyjas (2009) A New Twist on the Generalized Marcum Q-Function Q_M(a, b) with Fractional-Order M and Its Applications., 2009 6th IEEE Consumer Communications and Networking Conference, 1–5, ISBN 978-1-4244-2308-8
2. Yin Sun, Árpád Baricz, and Shidong Zhou (2010) On the Monotonicity, Log-Concavity, and Tight Bounds of the Generalized Marcum and Nuttall Q-Functions. IEEE Transactions on Information Theory, 56(3), 1166–1186, ISSN 0018-9448

Список літератури

• Marcum, JI (1950) "Таблиця функцій Q". Меморандум про дослідження RAND ВПС США M-339 . Санта-Моніка, Каліфорнія: Rand Corporation, 1 січня 1950 р.
• Натталл, Альберт Х. (1975): Деякі інтеграли, що включають функцію Q _M, Транзакції IEEE з теорії інформації, 21 (1), 95–96,ISSN 0018-9448
• Вайсштайн, Ерік В. Маркум Q-функція. З MathWorld - вебресурс Wolfram. [1] [Архівовано 28 квітня 2020 у Wayback Machine.]