Monstrous moonshine

Monstrous moonshine, також відома як гіпотеза жахливої дурниці — несподіваний[1] зв'язок простої скінченної групи-монстра ${\displaystyle M}$ із модулярними функціями (зокрема, з ${\displaystyle j}$-інваріантом)[2]. Висунуто як гіпотезу в 1970-х роках та доведено в 1992 році.

Назва

Monstrous moonshine також називають англійською moonshine theory, а до моменту доведення називали monstrous moonshine hypothesis.

Історія

Перший прояв зв'язку виявив наприкінці 1970-х років Джон Маккей^[en], який зауважив, що коефіцієнти ряду Фур'є нормалізованого ${\displaystyle j}$-інваріанту:

${\displaystyle j(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884q+21493760q^{2}[phone]q^{3}+\cdots }$[3]

(${\displaystyle \tau }$ — відношення півперіодів^[en], ${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$) є специфічними лінійними комбінаціями розмірностей ${\displaystyle r_{i}}$[4] незвідних представлень^[en] групи ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\&=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_{5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\dots \end{aligned}}}$ .

Джон Томпсон для пояснення феномену запропонував вивчити степеневі ряди з коефіцієнтами, що є характерами представлень монстра, обчисленими для його елементів. 1979 року Джон Конвей (який, дізнавшись про співвідношення Маккея, запропонував термін monstrous moonshine) і Саймон Нортон^[en] побудували такі функції (ряди Маккея — Томпсона), і виявили їх схожість із головними модулярними функціями^[de], сформулювавши зміст гіпотези: кожен ряд Маккея — Томпсона відповідає певній головній модулярній функції[5].

1992 року гіпотезу довів учень Конвея Річард Борхердс, який згодом здобув Філдсівську премію, зокрема й за цей результат. Доведення істотно спирається на властивості деякої алгебри вершинних операторів (монстр-вершинної алгебри^[en]), для якої група-монстр є групою симетрій, і цим виявлено зв'язок твердження з теорією струн і конформною теорією поля (які ґрунтуються на алгебрах вершинних операторів).

Примітки

1. David Terr Monstrous Moonshine(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Иэн Стюарт^[en]. Укрощение бесконечности: История математики от первых чисел до теории хаоса / пер. с англ. Е. Погосян. — М. : Манн, Иванов и Фербер, 2019. — С. 297. — ISBN 9785001174554.
3. послідовність A014708 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4. послідовність A001379 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
5. J. H. Conway and S. P. Norton. Monstrous Moonshine. — Bull. London Math. Soc.. — 1979. — Vol. 11. — P. 308—339.