Триноїд 7-ноїд У диференціальній геометрії k-ноїд — це мінімальна поверхня з k катеноїдними отворами. Зокрема, 3-ноїд часто називають триноїдом. Перші k -ноїдні мінімальні поверхні були описані Хорхе та Міксом у 1983 році[ 1]
Термін k- ноїд і триноїд також іноді використовується для позначення поверхонь постійної середньої кривини, особливо розгалужених версій ондулоїда («триундулоїди»)[ 2]
k -ноїди топологічно еквівалентні k -проколотим сферам (сферам з вилученими k точками). k -ноїди із симетричними отворами можуть бути створені за допомогою параметризації Вейєрштрасса-Еннепера
f
(
z
)
=
1
/
(
z
k
−
1
)
2
,
g
(
z
)
=
z
k
−
1
{\displaystyle f(z)=1/(z^{k}-1)^{2},g(z)=z^{k-1}\,\!}
[ 3]
X
(
z
)
=
1
2
ℜ
{
(
−
1
k
z
(
z
k
−
1
)
)
[
(
k
−
1
)
(
z
k
−
1
)
2
F
1
(
1
,
−
1
/
k
;
(
k
−
1
)
/
k
;
z
k
)
−
(
k
−
1
)
z
2
(
z
k
−
1
)
2
F
1
(
1
,
1
/
k
;
1
+
1
/
k
;
z
k
)
−
k
z
k
+
k
+
z
2
−
1
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}X(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {-1}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}-(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k+z^{2}-1{\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}}
Y
(
z
)
=
1
2
ℜ
{
(
i
k
z
(
z
k
−
1
)
)
[
(
k
−
1
)
(
z
k
−
1
)
2
F
1
(
1
,
−
1
/
k
;
(
k
−
1
)
/
k
;
z
k
)
+
(
k
−
1
)
z
2
(
z
k
−
1
)
2
F
1
(
1
,
1
/
k
;
1
+
1
/
k
;
z
k
)
−
k
z
k
+
k
−
z
2
−
1
)
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}Y(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {i}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}+(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k-z^{2}-1){\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}}
Z
(
z
)
=
ℜ
{
1
k
−
k
z
k
}
{\displaystyle Z(z)=\Re \left\{{\frac {1}{k-kz^{k}}}\right\}}
де
2
F
1
(
a
,
b
;
c
;
z
)
{\displaystyle _{2}F_{1}(a,b;c;z)}
гіпергеометрична функція Гауса і
ℜ
{
z
}
{\displaystyle \Re \{z\}}
z
{\displaystyle z}
Також можна створити k -ноїди з отворами в різних напрямках і розмірах[ 4] платонічним тілам, і k-ноїди з ручками[ 5]
↑ L. P. Jorge and W. H. Meeks III, The topology of complete minimal surfaces of finite total Gaussian curvature, Topology 22 (1983)
↑ N Schmitt (2007). Constant Mean Curvature n -noids with Platonic Symmetries. arXiv :math/0702469 ↑ Matthias Weber (2001). Classical Minimal Surfaces in Euclidean Space by Examples (PDF) . Indiana.edu. Архів оригіналу (PDF) за 12 липня 2019. Процитовано 5 жовтня 2012 . [Архівовано 2019-07-12 у Wayback Machine .] ↑ H. Karcher. Construction of minimal surfaces, in "Surveys in Geometry", University of Tokyo, 1989, and Lecture Notes No. 12, SFB 256, Bonn, 1989, pp. 1-96 (PDF) . Math.uni-bonn-de. Архів оригіналу (PDF) за 21 лютого 2022. Процитовано 5 жовтня 2012 . ↑ Jorgen Berglund, Wayne Rossman (1995). Minimal Surfaces with Catenoid Ends. Pacific J. Math . 171 (2): 353—371. arXiv :0804.4203 Bibcode :2008arXiv0804.4203B . doi :10.2140/pjm.1995.171.353 .
![{\displaystyle {\begin{aligned}X(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {-1}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}-(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k+z^{2}-1{\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32772901a9fe91c50518a10649f9157d4ed44497)
![{\displaystyle {\begin{aligned}Y(z)={\frac {1}{2}}\Re {\Bigg \{}{\Big (}{\frac {i}{kz(z^{k}-1)}}{\Big )}{\Big [}&(k-1)(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,-1/k;(k-1)/k;z^{k})\\&{}+(k-1)z^{2}(z^{k}-1)_{2}F_{1}(1,1/k;1+1/k;z^{k})\\&{}-kz^{k}+k-z^{2}-1){\Big ]}{\Bigg \}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80338c05da690e02e113054874477d5a8530cf63)
