Числа Піфагора

Теорема Піфагора: a^2 + b^2 = c^2

Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох натуральних чисел a, b і c, таких що a^2 + b^2 = c^2. Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді й (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називають взаємно прості a, b й c.

Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв'язком. Але не всі розв'язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник зі сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є піфагоровими числами, тому що √2 — не натуральне число. Щобільше, 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Для c ≤ 100 є лише 16 примітивних Піфагорових трійок:

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(7, 24, 25)	(8, 15, 17)
(9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Загальні формули

За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа

${\displaystyle a=m^{2}-n^{2}\,}$

${\displaystyle b=2\cdot m\cdot n\,}$

${\displaystyle c=m^{2}+n^{2}\,}$

є числами Піфагора. Вони будуть примітивними, якщо й тільки якщо m і n взаємно прості й одне з них парне (якби обидва були непарними, тоді числа a, b і c були б парними, а значить, трійка не була б примітивною). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a, b, c — деякі примітивні числа Піфагора. Вочевидь, два з них мають бути непарними, а одне — парним. Доведемо, що випадок, коли a, b — непарні, а c — парне неможливий. Справді, якщо c є парним, то c^2 ділиться на 4, тоді як a^2 + b^2 =(2p+1)^2 + (2q+1)^2 =4p^2+4p+1+4q^2+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a, c — непарні, а b — парне. Записавши a^2 − c^2 = b^2 і враховуючи a^2 − c^2 = (a+с)×(a−с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:

${\displaystyle {\frac {c-a}{2}}\cdot {\frac {c+a}{2}}=\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}}$

У попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. Інакше їх спільний дільник був би спільним дільником і для a, c, а значить і для b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їхній добуток є квадратом цілого, то кожне з цих чисел є квадратом цілого.

Якщо покласти

${\displaystyle {\frac {c+a}{2}}=m^{2}}$

${\displaystyle {\frac {c-a}{2}}=n^{2},}$

то вирази для a, b, c через m, n саме і будуть шуканими формулами.

Див. також

• Піфагорова четвірка
• Рівняння Якобі — Маддена

Джерела

• Pythagorean Triple. mathworld.wolfram.com (англ.). Wolfram MathWorld. Процитовано 5 лютого 2022.
• Литцман В. Теорема Пифагора Теорема Пифагора / перевод с немецкого В. С. Бермана, под редакцией И. М.Яглома. — Москва : Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 116 с. (рос.)
• Серпинский В. Пифагоровы треугольники. Пособие для учителей / перевод с польского под редакцией и с примечаниями С. И. Зетеля. — Москва-Ленинград : Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР (Учпедгиз), 1959. — 112 с. (рос.)