Хвилі Лява

Хвиля Лява чи хвилі Лава — пружна хвиля з горизонтальною поляризацією. Може бути як об'ємною, так і поверхневою. Названа на честь англійського математика Оґастуса Лава (англ. Augustus Edward Hough Love), який досліджував цей тип хвиль в додатку до сейсмології в 1911 році[1].

Опис

Хвилі Лава мають горизонтальну поляризацію; а саме, в однорідному ізотропному середовищі зміщення частинок в цій хвилі перпендикулярне вектору швидкості. Якщо сагитальну площину задати в площині (x, z) з віссю z, спрямовану вглиб матеріалу, то вона описуються плоскою хвилею з частотою ω виду

${\displaystyle U_{y}=A{\textrm {exp}}[i(k_{t}x-\omega t)],}$

де k_t — хвильове число, A — амплітуда. Це об'ємне рішення зазвичай не представляє інтересу. Якщо напівпростір, заповнений однорідним ізотропним середовищем, покрите тонким шаром матеріалу зі швидкістю звуку меншою, ніж в об'ємі, то виникає поверхнева хвиля з затухаючою амплітудою[2].

Ізотропне середовище

У разі ізотропного, однорідного та ідеально пружного середовища, що заповнює напівпростір z> 0, з густиною ρ_i, рівняння руху для зміщень U можна записати у вигляді[2]

${\displaystyle \rho _{i}{\frac {\partial ^{2}{\textbf {U}}^{i}}{\partial t^{2}}}=\mu _{i}\Delta {\textbf {U}}^{i},}$

({{{3}}})

де для поперечної хвилі U = (0, U_y, 0), індекс i проходить значення 1 і 2 для тонкого шару матеріалу товщиною h і для об'ємного матеріалу, що заповнює простір; z> h.

Повне рішення цього рівняння задається у вигляді

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=(B\sin {s_{1}z}+C\cos {s_{1}z})\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {(-s_{2}z)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

де ${\displaystyle s_{1}={\sqrt {k_{t1}^{2}-k^{2}}}}$, ${\displaystyle s_{2}={\sqrt {k^{2}-k_{t2}^{2}}}}$. З граничних умов відсутності напружень на межі двох середовищ і безперервності дотичних зсувів напружень на поверхні можна отримати систему лінійних однорідних рівнянь для амплітуд A, B, C, яка має нетривіальне рішення при рівності визначника системи нулю[3]:

${\displaystyle \tan {s_{1}h}={\frac {\mu _{2}s_{2}}{\mu _{1}s_{1}}},}$

({{{3}}})

яке має безліч рішень. Амплітуди зсувів описуються виразом:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\cos {s_{1}(z+h)}\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\cos {s_{1}h}\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]}.}$

({{{3}}})

Коли швидкість звуку в поверхневому шарі менша, ніж в об'ємі, то рівняння (3) має дійсні рішення, що знаходяться в області ${\displaystyle k_{t1}>k>k_{t2}}$. Цих коренів тим більше, чим більше значення виразу ${\displaystyle k_{t2}h}$. У межах малої товщини ${\displaystyle k_{t2}h\rightarrow 0}$ існує тільки одна хвиля Лава[4]:

${\displaystyle U_{y}^{(1)}=A\exp {[i(kx-\omega t)]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle U_{y}^{(2)}=A\exp {[i(kx-\omega t)-s_{2}z]},}$

({{{3}}})

${\displaystyle k=k_{t2}\left[1+{\frac {1}{2}}k_{t2}^{2}h^{2}{\frac {\rho _{1}^{2}}{\rho _{2}^{2}}}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)\right],}$

({{{3}}})

${\displaystyle s_{2}=k_{t2}\left(1-{\frac {c_{t1}^{2}}{c_{t2}^{2}}}\right)k_{t2}h{\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}.}$

({{{3}}})

Примітки

1. Love A. E. H.  Some problems of geodynamics. First published in 1911 by the Cambridge University Press and published again in 1967 by Dover, New York, USA. (Chapter 11: Theory of the propagation of seismic waves).
2. Викторов И. А., 1981, с. 22.
3. Викторов И. А., 1981, с. 24.
4. Викторов И. А., 1981, с. 25.

Література

• A.E.H. Love. Some Problems of Geodynamics. — Cambridge : University Press, 1911. — P. 180.
• Викторов И. А. . {{{Заголовок}}}. — М. : Наука, 1981. — 287 с.
• Парийский Н. Н., Перцев Б. П. .  // Изв. АН СССР. Физика Земли. — 1972. — № 3. — С. 11—14.