Функції Бесселя другого роду

Графіки функцій ${\displaystyle \!Y_{0}(x)}$ та ${\displaystyle \!Y_{1}(x)}$

Функція Бесселя 2-го роду ${\displaystyle \!Y_{n}(x)}$ (позначається також ${\displaystyle \!N_{n}(x)}$).

Інші назви — циліндрична функція 2-го роду n-ного порядку.

Визначення

Загальний розв'язок рівняння Бесселя при цілому ${\displaystyle \!n}$ має вигляд:

${\displaystyle \!y(x)=C_{1}J_{n}(x)+C_{2}Y_{n}(x)}$.

Для не цілих ${\displaystyle \!n}$, функція ${\displaystyle \!Y_{n}(x)}$ визначається як:

${\displaystyle \!Y_{n}(x)={\frac {J_{n}(x)\cos(n\pi )-J_{-n}(x)}{\sin(n\pi )}}}$

Для цілого ${\displaystyle \!n}$ функція функція ${\displaystyle \!Y_{n}(x)}$ визначається рівністю:

${\displaystyle Y_{n}(x)=\lim _{m\rightarrow n}{\frac {J_{m}(x)\cos(m\pi )-J_{-m}(x)}{\sin(m\pi )}}=}$

${\displaystyle ={\frac {2}{\pi }}\left(C+\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\right)J_{n}(x)-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{n-1_{}}{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {2}{x}}\right)^{n-2k}-{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty _{}}{\frac {(-1)^{k}}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n+2k}\left(\Phi (n+k)+\Phi (k)\right)}$,

де ${\displaystyle \!m}$ — близьке до ${\displaystyle \!n}$ число, ${\displaystyle \!C}$ — константа Ейлера ( ${\displaystyle \!C=0.5772...}$)

і ${\displaystyle \!\Phi (k)=\sum _{s=1}^{k_{}}{\frac {1}{s}}}$,

${\displaystyle \!\Phi (k)=0}$.

Література

• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — М.: Наука, 1980. — 976 с., ил.