Формула Торрічеллі

Демонстрація закономірностей витікання рідини через отвір у тонкій стінці, що описуються формулою Торічеллі

Фо́рмула (зако́н) Торіче́ллі  — формула для визначення швидкості витікання рідини з отвору у тонкій стінці відкритої посудини:

${\displaystyle V={\sqrt {2gh}},}$

де: ${\displaystyle V}$ — швидкість витікання рідини з отвору;

${\displaystyle h}$ — висота стовпа рідини в посудині;

${\displaystyle g}$ — прискорення вільного падіння.

Вона показує, що при витіканні ідеальної нестисливої ​​рідини з отвору в широкій посудині рідина набуває швидкості, яку отримало б тіло, що вільно падає з висоти ${\displaystyle h}$. Вперше встановлена Е. Торрічеллі в 1641 році.

Доведення

Скористаємось рівнянням Бернуллі, записаним у вигляді:

${\displaystyle gz+{p \over \rho }+{V^{2} \over 2}={\text{constant}}}$

де: ${\displaystyle V}$ — швидкість руху рідини;

${\displaystyle z}$ — висота підняття рідини у розглядуваній точці відносно площини відліку (площини порівняння);

${\displaystyle p}$ — тиск у розглядуваній точці;

${\displaystyle \rho }$ — густина (питома маса) рідини.

Приймемо, що отвір знаходиться на висоті z = 0. У верхній частині бака, тиск p дорівнює атмосферному тиску і швидкістьV можна вважати нульовою, так як швидкість опускання рівня у баку значно менша, ніж швидкість витікання рідини з бака. На отворі, z=0 і тиск p знову ж таки рівний атмосферному. Тоді рівняння Бернуллі для двох перерізів: на поверхні рідини у баку і перерізу отвору з врахуванням зроблених вище допущень, запишуться:

${\displaystyle gz+{p_{atm} \over \rho }={V^{2} \over 2}+{p_{atm} \over \rho }}$

${\displaystyle \Rightarrow V^{2}=2gz\,}$

${\displaystyle \Rightarrow V={\sqrt {2gz}}}$

z відповідає h, обумовленому на початку, тому:

${\displaystyle V={\sqrt {2gh}}}$

Формула Торрічеллі для в'язкої рідини

Дійсна ж швидкість витікання дещо відрізняється від швидкості, яка визначається формулою Торрічеллі: вона залежить від форми і розміру отвору, від в'язкості рідини та величини витрати. Для врахування цих обставин у формулу Торрічеллі вводять поправочний множник, що завжди менший від одиниці. Тоді формула набуває вигляду:

${\displaystyle V=\phi {\sqrt {2gh}},}$

де ${\displaystyle \phi }$ — коефіцієнт швидкості при витіканні рідини з отвору.

Для малого круглого отвору при великих числах Рейнольдса він дорівнює ${\displaystyle \phi =0,94...0,99}$. Значення ${\displaystyle \phi }$ для отворів інших форм і розмірів наводяться в довідниках з гідравліки.

Джерела

• Левицький Б. Ф., Лещій Н. П. Гідравліка. Загальний курс. — Львів: Світ, 1994. — 264 с.
• Константінов Ю. М., Гіжа О. О. Технічна механіка рідини і газу: Підручник. — К.: Вища школа, 2002. — 277 с.:іл.
• Кулінченко В. Р. Гідравліка, гідравлічні машини і гідропривід: Підручник. — К.: Фірма «Інкос», Центр навчальної літератури, 2006. — 616 с.
• Колчунов В. І. Теоретична та прикладна гідромеханіка: Навч. Посібник. — К.: НАУ, 2004. — 336 с.