Теорема про зміну імпульсу системи

Теорема про зміну імпульсу (кількості руху) системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Зв'язує кількість руху з імпульсом зовнішніх сил, що діють на тіла, які складають систему. Системою, про яку йдеться в теоремі, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл[1][2].

Формулювання теореми

Кількістю руху (імпульсом) механічної системи називають величину, рівну сумі кількостей руху (імпульсів) усіх тіл, що входять у систему. Імпульс зовнішніх сил, що діють на тіла системи, це сума імпульсів усіх зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Теорема про зміну кількості руху системи стверджує[1][2]:

Зміна кількості руху системи за деякий проміжок часу дорівнює імпульсу зовнішніх сил, що діють на систему, за той самий проміжок часу.

Теорема допускає узагальнення в разі неінерційних систем відліку. У цьому випадку до зовнішніх сил необхідно додавати переносні та коріолісові сили інерції[3].

Доведення

Нехай система складається з ${\displaystyle N}$ матеріальних точок з масами ${\displaystyle m_{i}}$ та прискореннями ${\displaystyle {\vec {a}}_{i}}$. Усі сили, що діють на тіла системи, розділимо на два види:

• Зовнішні сили — сили, що діють з боку тіл, які не входять до системи, що розглядається. Рівнодійну зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку з номером ${\displaystyle i}$, позначимо ${\displaystyle {\vec {F}}_{i}}$.
• Внутрішні сили — це сили, з якими взаємодіють одне з одним тіла самої системи. Силу, з якою на точку з номером ${\displaystyle i}$ діє точка з номером ${\displaystyle k}$ будемо позначати ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}$, а силу дії ${\displaystyle i}$-ої точки на ${\displaystyle k}$-ту точку — ${\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}$. Очевидно, що якщо ${\displaystyle i=k}$, то ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=0.}$

Використовуючи введені позначення, запишемо другий закон Ньютона для кожної з матеріальних точок, що розглядаються, у вигляді

${\displaystyle m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.}$

Враховуючи, що ${\displaystyle m_{i}{\vec {a}}_{i}=m_{i}{\frac {d{\vec {v}}_{i}}{dt}}={\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}}$, і підсумовуючи всі рівняння другого закону Ньютона, отримуємо:

${\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}+\sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}.}$

Вираз ${\displaystyle \sum \limits _{i}\sum \limits _{k}{\vec {f}}_{i,k}}$ є сумою всіх внутрішніх сил, що діють у системі. За третім законом Ньютона в цій сумі кожній силі ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}}$ відповідає сила ${\displaystyle {\vec {f}}_{k,i}}$ така, що ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}=-{\vec {f}}_{k,i}}$ і, отже, виконується ${\displaystyle {\vec {f}}_{i,k}+{\vec {f}}_{k,i}=0.}$ Оскільки вся сума складається з таких пар, то сама сума дорівнює нулю. Таким чином, можна записати

${\displaystyle \sum \limits _{i}{\frac {d(m_{i}{\vec {v}}_{i})}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.}$

Використовуючи для кількості руху системи ${\displaystyle \sum \limits _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}}$ позначення ${\displaystyle {\vec {P}}}$, отримаємо

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}.}$

Увівши зміну імпульсу зовнішніх сил ${\displaystyle d{\vec {R}}=\sum \limits _{i}{\vec {F}}_{i}dt}$, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в диференціальній формі:

${\displaystyle d{\vec {P}}=d{\vec {R}}.}$

Таким чином, кожне з останніх отриманих рівнянь дозволяє стверджувати: зміна кількості руху системи відбувається тільки внаслідок дії зовнішніх сил, а внутрішні сили ніяк вплинути на цю величину не можуть.

Проінтегрувавши обидві частини отриманої рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими ${\displaystyle t_{1}}$ і ${\displaystyle t_{2}}$, отримаємо вираз теореми про зміну кількості руху системи в інтегральній формі:

${\displaystyle {\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}={\vec {R}}(t_{2},t_{1}),}$

де ${\displaystyle {\vec {P}}_{1}}$ і ${\displaystyle {\vec {P}}_{2}}$ — значення кількості руху системи в моменти часу ${\displaystyle t_{1}}$ і ${\displaystyle t_{2}}$ відповідно, а ${\displaystyle {\vec {R}}(t_{2},t_{1})}$ — імпульс зовнішніх сил за проміжок часу ${\displaystyle t_{2}-t_{1}}$. Відповідно до сказаного раніше та введених позначень, виконується

${\displaystyle {\vec {R}}(t_{2},t_{1})=\sum \limits _{i}\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\vec {F}}_{i}(t)dt.}$

Закон збереження кількості руху системи

З теореми про зміну кількості руху системи випливає, що за відсутності зовнішніх сил (замкнута система), а також за рівності суми всіх зовнішніх сил нулю виконується ${\displaystyle d{\vec {P}}=0}$ і ${\displaystyle {\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1}=0}$. Інакше кажучи, справедливе співвідношення

${\displaystyle {\vec {P}}=const.}$

Отже, маємо висновок:

Якщо сума всіх зовнішніх сил, що діють на систему, дорівнює нулю, кількість руху (імпульс) системи є величина стала.

Це твердження становить зміст закону збереження кількості руху системи[1][2].

Можливі випадки, коли сума зовнішніх сил нулю не дорівнює, але дорівнює нулю її проєкція на напрям. Тоді дорівнює нулю і зміна проєкції кількості руху системи на цей напрямок, тобто, як кажуть, зберігається кількість руху в цьому напрямку.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яке виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа. Теорема про зміну кількості руху системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує[4]:

Якщо ідеальні стаціонарні зв'язки допускають у будь-який момент поступальне переміщення системи паралельно до деякої нерухомої осі ${\displaystyle x}$, то похідна за часом від проєкції кількості руху системи на вісь ${\displaystyle x}$ дорівнює сумі проєкцій на ту ж вісь всіх зовнішніх активних сил, що діють на систему.

«Активні» стосовно сил (нижче у формулах їх позначено символом ${\displaystyle ^{a}}$) означає «ті, що не є реакціями зв'язків».

Дійсно, за умовою, в будь-який момент усі точки системи допускають зміщення на ${\displaystyle \delta x}$ паралельно до нерухомої осі ${\displaystyle x}$. Замінюючи в загальному рівнянні динаміки ${\displaystyle \delta {\vec {r}}_{k}}$ на ${\displaystyle {\vec {i}}\delta x}$, отримуємо:

${\displaystyle (\sum m_{k}{\vec {w}}_{k}){\vec {i}}\delta x=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}\delta x}$

або

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\sum m_{k}{\vec {v}}_{k}){\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}){\vec {i}}}$

або

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}{\vec {i}}=(\sum {\vec {F}}_{k}^{a}){\vec {i}}}$

остаточно знаходимо:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}=\sum {\vec {F}}_{kx}^{ea}}$

У передостанньому рівнянні до суми активних сил ${\displaystyle {\vec {F}}_{k}^{a}}$ включено зовнішні активні та внутрішні активні сили. Однак геометрична сума внутрішніх активних сил, як попарно рівних та протилежних, дорівнює нулю, тому в остаточному рівнянні представлено лише зовнішні (введено додатковий значок ${\displaystyle ^{e}}$ від англ. external) активні сили.

Історія

Про закон збереження кількості руху Ісаак Ньютон у своїй знаменитій праці «Математичні начала натуральної філософії», виданій 1687 року, писав: «Кількість руху, одержувана беручи суму кількостей руху, коли вони здійснюються в один бік, і різницю, коли вони відбуваються в боки протилежні, не змінюється від взаємодії тіл між собою»[5]. Коментатор, у зв'язку з цим формулюванням, зазначає, що, хоча в ньому розглянуто лише випадок руху тіл уздовж однієї прямої, І. Ньютон, як показують його інші висловлювання в тій самій книзі, у своїх поглядах цим окремим випадком не обмежувався[5].

Див. також

• Теорема про рух центра мас системи
• Теорема про кінетичну енергію системи
• Теорема про зміну моменту імпульсу системи

Примітки

1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М. : Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — ISBN 5-06-003117-9.
2. Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М. : ЧеРО, 1999. — С. 157—159.
3. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
4. Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
5. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М. : Наука, 1989. — С. 45. — (Классики науки) — ISBN 5-02-000747-1.