Теорема про гомоморфізми

В абстрактній алгебрі, — фундаментальна теорема про гомоморфізми або перша теорема про ізоморфізм, — пов'язує структуру двох об'єктів, між якими встановлений гомоморфізм, а також — ядро та образ гомоморфізму.

Теорема про гомоморфізму використовується при доведенні теорем про ізоморфізм.

Версія для теорії груп

Діаграма фундаментальної теореми про гомоморфізми, де ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм, ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа групи ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle e}$ — одиничний елемент групи ${\displaystyle G}$.

Нехай задано дві групи ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle H}$ та ${\displaystyle f\colon G\to H}$ — гомоморфізм між ними. Нехай ${\displaystyle N}$ — нормальна підгрупа групи ${\displaystyle G}$ і ${\displaystyle \varphi }$ — очевидний сур'єктивний гомоморфізм ${\displaystyle G\to G\backslash N}$, де ${\displaystyle G\backslash N}$ — фактор-група групи ${\displaystyle G}$ за підгрупою ${\displaystyle N}$. Якщо ${\displaystyle N}$ — підмножина ${\displaystyle \operatorname {ker} (f)}$, то тоді існує єдиний гомоморфізм ${\displaystyle h\colon G\backslash N\to H}$, такий, що ${\displaystyle f=h\circ \varphi }$.

Іншими словами, природна проєкція ${\displaystyle \varphi }$ є універсальною серед інших гомоморфізмів групи ${\displaystyle G}$, що відображають ${\displaystyle N}$ в нейтральний елемент.

Ця теорема описується наступною комутативною діаграмою:

Відображення ${\displaystyle h}$ є ін'єктивним тоді й лише тоді, коли ${\displaystyle N=\operatorname {ker} (f)}$. Тому, поклавши ${\displaystyle N=\operatorname {ker} (f)}$, одразу отримуємо першу теорему про ізоморфізм.

Також твердження фундаментальної теореми про гомоморфізми груп можна записати як "будь-який гомоморфний образ групи ізоморфний фактор-групі".

Інші версії теореми

Схожі теореми мають місце для моноїдів, груп, кілець, модулів, векторних просторів та інших алгебраїчних структур.

Дивись також

• Фактор-категорія

Література

• Beachy, John A. (1999), "Theorem 1.2.7 (The fundamental homomorphism theorem)", Introductory Lectures on Rings and Modules, London Mathematical Society Student Texts, vol.47, Cambridge University Press, p.27, ISBN 9780521644075.
• Grove, Larry C. (2012), "Theorem 1.11 (The Fundamental Homomorphism Theorem)", Algebra, Dover Books on Mathematics, Courier Corporation, p. 11, ISBN 9780486142135.
• Jacobson, Nathan (2012), "Fundamental theorem on homomorphisms of ${\displaystyle \Omega }$-algebras", Basic Algebra II, Dover Books on Mathematics (2nd ed.), Courier Corporation, p.62, ISBN 9780486135212.
• Rose, John S. (1994), "3.24 Fundamental theorem on homomorphisms", A course on Group Theory [reprint of the 1978 original], Dover Publications, Inc., New York, pp.44--45, ISBN 0-486-68194-7, MR 1298629.
• Курош А. Г. Общая алгебра. — М. : Мир, 1970. — 162 с.(рос.)