Теорема Ферма про багатокутні числа

Теоре́ма Ферма́ про багатоку́тні чи́сла стверджує, що будь-яке натуральне число можна подати як суму не більше ніж ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$-кутних чисел.

Приклади

Приклади розбиття натуральних чисел від 1 до 30 відповідно до теореми Ферма[1]:

Число	Сума не більше трьох трикутних чисел	Сума не більше чотирьох квадратних чисел	Сума не більше п'яти п'ятикутних чисел
1	1	${\displaystyle 1}$	1
2	1 + 1	1 + 1	1 + 1
3	3	1 + 1 + 1	1 + 1 + 1
4	3 + 1	${\displaystyle 2^{2}}$	1 + 1 + 1 + 1
5	3 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1}$	5
6	6	${\displaystyle 2^{2}+1+1}$	5 + 1
7	6 + 1	${\displaystyle 2^{2}+1+1+1}$	5 + 1 + 1
8	6 + 1 + 1	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1
9	6 + 3	${\displaystyle 3^{2}}$	5 + 1 + 1 + 1 + 1
10	10	${\displaystyle 3^{2}+1}$	5 + 5
11	10 + 1	${\displaystyle 3^{2}+1+1}$	5 + 5 + 1
12	6 + 6	${\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12
13	10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}}$	12 + 1
14	10 + 3 + 1	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1}$	12 + 1 + 1
15	15	${\displaystyle 3^{2}+2^{2}+1+1}$	5 + 5 + 5
16	15 + 1	${\displaystyle 4^{2}}$	5 + 5 + 5 + 1
17	10 + 6 + 1	${\displaystyle 4^{2}+1}$	12 + 5
18	15 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}}$	12 + 5 + 1
19	10 + 6 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+1}$	12 + 5 + 1 + 1
20	10 + 10	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}}$	5 + 5 + 5 + 5
21	21	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+1}$	5 + 5 + 5 + 5 + 1
22	21 + 1	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}}$	22
23	10 + 10 + 3	${\displaystyle 3^{2}+3^{2}+2^{2}+1}$	22 + 1
24	21 + 3	${\displaystyle 4^{2}+2^{2}+2^{2}}$	12 + 12
25	15 + 10	${\displaystyle 5^{2}}$	12 + 12 + 1
26	15 + 10 + 1	${\displaystyle 5^{2}+1}$	12 + 12 + 1 + 1
27	21 + 6	${\displaystyle 5^{2}+1+1}$	22 + 5
28	28	${\displaystyle 5^{2}+1+1+1}$	22 + 5 + 1
29	28 + 1	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}}$	12 + 12 + 5
30	15 + 15	${\displaystyle 5^{2}+2^{2}+1}$	12 + 12 + 5 + 1

Історія

Теорему названо ім'ям П'єра Ферма, який висунув це твердження 1638 році без доведення, але обіцяв надати його в окремій статті, яка так ніколи й не з'явилася[2]. 1770 року Лагранж довів цю теорему для квадратних чисел[2]. Гаусс довів теорему для трикутних чисел 1796 року. Він доповнив свою знахідку записом у щоденнику: «Еврика!»[3] і опублікував доведення в книзі «Арифметичні дослідження». Цей результат Гауса відомий як «теорема еврика»[4]. Повністю теорему довів Коші 1813 року[2]. Подальші доведення засновані на доведених Коші лемах[5].

Окремі випадки

Найцікавіші квадратний ${\displaystyle m=n^{2}}$ і трикутний ${\displaystyle m={\frac {n(n+1)}{2}}}$ випадки. Теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів разом із теоремою Лежандра про три квадрати вирішують проблему Воринга для ${\displaystyle n=2}$. А в разі трикутних чисел заміна квадрата квадратним многочленом дозволяє зменшити необхідне число доданків.

Примітки

1. Виолант-и-Хольц, Альберт. Загадка Ферма. Трёхвековой вызов математике. — М. : Де Агостини, 2014. — С. 146. — (Мир математики: в 45 томах, том 9) — ISBN 978-5-9774-0625-3.
2. Heath, Sir Thomas Little (1910), Diophantus of Alexandria; a study in the history of Greek algebra, Cambridge University Press, с. 188.
3. Bell, Eric Temple (1956), Gauss, the Prince of Mathematicians, у Newman, James R. (ред.), The World of Mathematics, т. I, Simon & Schuster, с. 295—339. Dover reprint, 2000, ISBN 0-486-41150-8.
4. Ono, Ken; Robins, Sinai; Wahl, Patrick T. (1995), On the representation of integers as sums of triangular numbers, Aequationes Mathematicae, 50 (1–2): 73—94, doi:10.1007/BF01831114, MR 1336863.
5. Nathanson, Melvyn B. (1987), A short proof of Cauchy's polygonal number theorem, Proceedings of the American Mathematical Society, 99 (1): 22—24, doi:10.2307/2046263, MR 0866422

Посилання

• Weisstein, Eric W. Теорема Ферма про багатокутні числа(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Nathanson, Melvyn B. (1996), Additive Number Theory The Classical Bases, Berlin: Springer, ISBN 978-0-387-94656-6 — містить доведення теореми Лагранжа і теореми про багатокутні числа.