Теорема Варіньона (механіка)

Схема до пояснення теореми Варіньона у векторній формі запису

Теоре́ма Варіньо́на — одна з теорем механіки, що встановлює залежність між результуючим моментами заданої системи збіжних сил і моментом їх рівнодійної відносно довільного центра або осі. Сформульована П'єром Варіньоном (фр. Pierre Varignon, 1654–1722) в 1687 році у роботі «Проєкт нової механіки…»[1], на основі поняття векторної величини та закону додавання сил за правилом паралелограма, введеними в механіку голландським математиком та інженером Сімоном Стевіном (нід. Simon Stevin, 1548–1620).

Теорема Варіньона:

Якщо система сил (${\displaystyle {\bar {F}}_{i}}$), прикладених до абсолютно твердого тіла має рівнодійну (${\displaystyle {\bar {R}}}$), то момент рівнодійної ${\displaystyle {\bar {M}}_{O}}$ відносно довільного центра (O) (осі z) дорівнює сумі моментів всіх сил ${\displaystyle {\bar {M}}_{O}(F_{i})}$ системи відносно того ж центра (осі).

Моменти сил відносно центра O — величини векторні і сума є геометричною (векторною):

${\displaystyle {\bar {M}}_{O}=\sum \limits _{i=1}^{N}({\bar {r}}_{i}\times {\bar {F}}_{i})={\bar {r}}\times \sum \limits _{i=1}^{N}{\bar {F}}_{i}={\bar {r}}\times {\bar {R}}}$.

Моменти сил відносно осі z — величини скалярні і сума є алгебраїчною.

${\displaystyle {\bar {M}}_{z}=\sum \limits _{i=1}^{N}M_{z}(F_{i})}$

Моменти сил відносно центра О можуть також розглядатися як величини алгебраїчні, коли всі сили ${\displaystyle {\bar {F}}_{i}}$, розташовані в одній площині й центр О лежить в тій же площині. Теорема Варіньона використовується при розв'язанні задач з різних розділів механіки (особливо статики): опору матеріалів, будівельної механіки тощо.

Див. також

• Момент сили

Примітки

1. Projet d'une nouvelle Mechanique avec Un Examen de l'opinion de M. Borelli, sur les propriétez des Poids suspendus par des Cordes. Paris, Veuve d'Edme Martin, Jean Boudot, & Estienne Martin 1687.

Джерела

• Федорченко А. М. Теоретична механіка, Київ: Вища школа, 1975., 516 с.
• Павловський М. А. Теоретична механіка: Підручник для студентів вищих навчальних закладів. - К.:Техніка,2002. - 512 с. ISBN 966-575-184-0.
• Цасюк В. В. Теоретична механіка: Навчальний посібник. - К.:ЦУЛ,2004. - 402 с. ISBN 966-8253-79-5