Теорема Брука — Райзера — Човли

Теорема Брука[en] — Райзера[en] — Човли[en] — це результат у комбінаториці блок-схем. Теорема стверджує, що якщо (v, b, r, k, λ)-схема існує з v = b (симетична блок-схема), то:

  • якщо v парне, то k − λ є квадратом;
  • якщо v непарне, то таке діофантове рівняння має нетривіальний розв'язок:
    .

Теорему довели для випадку проєктивних площин Брук та Райзер[1]. На симетричні схеми теорему розширили Райзер та Човла[2].

Проєктивні площини

В частковому випадку симетричних схем з , тобто проєктивних площин, теорему (відому в цьому разі як теорема Брука — Райзера) можна сформулювати так: якщо скінченна проєктивна площина порядку q існує і q порівнянне з 1 чи 2 (mod 4), то q має бути сумою двох квадратів. Зауважимо, що для проєктивної площини для параметрів схеми виконується . Отже, в такому разі v завжди непарне.

Теорема, наприклад, виключає існування проєктивних площин порядків 6 і 14, але дозволяє існування площин порядків 10 і 12. Оскільки за допомогою комбінації теорії кодування з великомасштабним комп'ютерним пошуком показано, що проєктивної площини порядку 10 не існує[3], умови теореми очевидно не достатньо для існування схеми. Проте критерій неіснування не відомий.

Зв'язок із матрицями інцидентності

Існування симетричної (v, b, r, k, λ)-схеми еквівалентне існуванню v × v матриці інцидентності R з елементами 0 і 1, що задовольняє умові

,

де E є v × v одиничною матицею, а J — v × v матрицею, в якій усі елементи дорівнюють 1. По суті, теорема Брука — Райзера — Човли є твердженням про необхідні умови існування раціональної v × v матриці R, яка задовольняє цьому рівнянню. Фактично, умови, закладені в теоремі Брука — Райзера — Човли, є не просто необхідними, а й достатні для існування таких раціональних матриць R. Їх можна вивести з теореми Мінковського — Гассе[en] про раціональну еквівалентність квадратичних форм.

Примітки

  1. ↑ Bruck, Ryser, 1949.
  2. ↑ Chowla, Ryser, 1950.
  3. ↑ Browne, 1988.

Література

  • Malcolm W. Browne. Is a Math Proof a Proof If No One Can Check It? // The New York Times. — 1988. — Число 20. — December.
  • Bruck R.H., Ryser H.J. The nonexistence of certain finite projective planes // Canadian J. Math.. — 1949. — Т. 1 (25 грудня). — С. 88–93. — DOI:10.4153/cjm-1949-009-2.
  • Chowla S., Ryser H.J. Combinatorial problems // Canadian J. Math.. — 1950. — Т. 2 (25 грудня). — С. 93–99. — DOI:10.4153/cjm-1950-009-8.
  • C. W. H. Lam. The Search for a Finite Projective Plane of Order 10 // American Mathematical Monthly. — 1991. — Т. 98, вип. 4 (25 грудня). — С. 305–318. — DOI:10.2307/2323798.
  • van Lint J. H., Wilson R.M. A Course in Combinatorics. — Cambridge : Cambridge University Press, 1992.

Посилання