Просторово-часовий інтервал

Просторо́во-часови́й інтерва́л або просто інтерва́л — аналог відстані між двома подіями в теорії відносності[1]. Визначається співвідношенням:

${\displaystyle s_{12}={\sqrt {c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}}}}$.

де c — швидкість світла.

У теорії відносності кожна подія характеризується часом та місцем, тобто, чотирма координатами: часом t та трьома просторовими координатами — x, y, z. Для наочності ці координати подають у чотиривимірному псевдоевклідовому просторі Мінковського[1]. Згідно з основним постулатом спеціальної теорії відносності просторово-часовий інтервал не залежить від вибору системи відліку, тобто є інваріантним відносно перетворень Лоренца.

Просторово-часовий інтервал є комплексною величиною. Якщо

${\displaystyle c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}>0}$,

то інтервал називають часоподібним. Для таких інтервалів завжди існує інерційна система відліку, в якій ці події відбулися в одному місці[2]. Якщо дві події відбуваються з одним і тим же тілом, то інтервал між ними завжди часоподібний[3].

Якщо

${\displaystyle c^{2}(t_{1}-t_{2})^{2}-(x_{1}-x_{2})^{2}-(y_{1}-y_{2})^{2}-(z_{1}-z_{2})^{2}<0}$,

то інтервал називають простороподібним. Для таких інтервалів завжди існує інерційна система відліку, в якій ці дві події відбулися одночасно[3], але в будь-якій інерційній системі відліку обидві події відбуваються в різних місцях простору[4].

Велике значення в теорії відносності має величина ${\displaystyle ds^{2}}$ — квадрат інтервалу між нескінченно близькими подіями:

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} ^{2}}$.

Загальна теорія відносності

У неінерційних системах відліку, тобто, у системах, що пов'язані зі спостерігачем, який рухається з прискоренням або перебуває в гравітаційному полі, квадрат локального приросту просторово-часового інтервалу записується в загальному вигляді

${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}}$,

де ${\displaystyle dx^{i}}$ і ${\displaystyle dx^{j}}$ — диференціали компонент 4-вектора, а ${\displaystyle g_{ij}}$ — певний 4-тензор, який називається метрикою простору-часу. За заведеними при використанні 4-векторів правилами нотації повторення індексу внизу і вгорі означає суму по цьому індексу.

Як і в спеціальній теорії відносності просторово-часовий інтервал однаковий у всіх системах відліку, але тільки локально.

Див. також

• Світловий конус
• 4-вектор

Джерела

1. Ландау, Лифшиц, 1974, с. 15—16.
2. Ландау, Лифшиц, 1974, с. 17.
3. Ландау, Лифшиц, 1974, с. 18.
4. Ландау, Лифшиц, 1974, с. 19.

Посилання

• Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика : [рос.]. — издание шестое, исправленное и дополненное. — Наука, 1974. — Т. том ІІ. Теория поля.