Поворот Ґівенса

Поворот Ґівенса — лінійне перетворення ${\displaystyle \ G(i,k,\theta )}$ векторного простору, що описує поворот в площині двох координатних осей.

Був запропонований в 1950 році американським математиком Воллесом Ґівенсом.

Визначення

Матриця повороту Ґівенса має вигляд

${\displaystyle G(i,k,\theta )={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&0&\\&&c&\cdots &s&&\\&&\vdots &\ddots &\vdots &&\\&&-s&\cdots &c&&\\&0&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

де ${\displaystyle c=\cos(\theta ),\;\;s=\sin(\theta )}$ стоять на перехресті i-того та k-того стовпця і рядка. Тобто:

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{i\,i}&{}=g_{k\,k}=c,\\g_{i\,k}&{}=-g_{k\,i}=s.\\\end{aligned}}}$

Властивості

• Матриця Ґівенса є частковим випадком матриці повороту.
• Коли матриця Ґівенса G(i,k,θ), домножається зліва на матрицю A, то тільки i-тий та k-тий рядки матриці A змінюються.

Приклад

Дано a та b, знайти c = cos θ та s = sin θ такі що

${\displaystyle {\begin{bmatrix}c&s\\-s&c\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}r\\0\end{bmatrix}}.}$

Не будемо шукати θ, знайдемо тільки c, s, та r:

${\displaystyle {\begin{aligned}r&{}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\c&{}=a/r\\s&{}=b/r.\end{aligned}}}$

Застосування

Застосовується для QR розкладу матриці наряду з такими методами як:

• Процес Грама — Шмідта,
• Перетворення Хаусхолдера.

Дивись також

• Поворот Якобі

Джерела

• Golub, Gene H.; Charles F. Van Loan (1996). Matrix Computations (вид. 3/e). Baltimore: Johns Hopkins University Press. ISBN 978-0-8018-5414-9.