Перетворення Мелліна

Перетворення Мелліна — інтегральне перетворення, яке можна розглядати як мультиплікативну версію двостороннього перетворення Лапласа. Це інтегральне перетворення тісно пов'язане з теорією рядів Діріхле і часто використовується в теорії чисел і в теорії асимптотичних розкладів. Перетворення Мелліна тісно пов'язане з перетворенням Лапласа і перетворенням Фур'є, а також теорією гамма-функцій і теорією суміжних спеціальних функцій.

Перетворення названо на честь фінського математика Ялмара Мелліна.

Визначення

Пряме перетворення Мелліна задається формулою:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx}$.

Обернене перетворення — формулою:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds}$.

Передбачається, що інтегрування відбувається в комплексній площині. Умови, при яких можна робити перетворення, збігаються з умовами теореми оберненого перетворення Мелліна.

Зв'язок з іншими перетвореннями

Двосторонній інтеграл Лапласа може бути виражений через перетворення Мелліна:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}$.

І навпаки: перетворення Мелліна виражається через двостороннє перетворення Лапласа формулою:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s).}$

Перетворення Фур'є може бути виражено через перетворення Мелліна формулою:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)}$.

Навпаки:

${\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)}$.

Перетворення Мелліна також пов'язує інтерполяційні формули Ньютона або біноміальні перетворення з твірною функцією послідовності за допомогою циклу Пуассона — Мелліна — Ньютона.

Приклади

Інтеграл Каена — Мелліна

Якщо:

• ${\displaystyle c>0,}$
• ${\displaystyle \Re (y)>0,}$
• ${\displaystyle y^{-s}}$ де функція визначена за допомогою головної гілки логарифму,

то [1]

${\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{ci\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}$,

де

${\displaystyle \Gamma (s)}$ — гамма-функція.

Названий на честь Ялмара Мелліна і французького математика Ежена Каена.

Перетворення Мелліна для просторів Лебега

В гільбертовому просторі перетворення Мелліна можна задати трохи інакше. Для простору ${\displaystyle L^{2}(0,\infty )}$ будь-яка фундаментальна смуга включає в себе ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} }$. У зв'язку з цим можна задати лінійний оператор ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$ як:

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx}$.

Тобто:

${\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is)}$.

Зазвичай цей оператор позначається ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ і називається перетворенням Мелліна, але тут і надалі ми будемо використовувати позначення ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}}$.

Теорема про обернене перетворення Мелліна показує, що

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}$

Крім того, цей оператор є ізометричним, тобто

${\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|_{L^{2}(0,\infty )}}$ для ${\displaystyle \forall f\in L^{2}(0,\infty )}$.

Це пояснює коефіцієнт ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$

Зв'язок з теорією ймовірностей

У теорії ймовірностей перетворення Мелліна є важливим інструментом для вивчення розподілу випадкових величин

Якщо:

• ${\displaystyle D=\{s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b\},}$
• ${\displaystyle a\leqslant 0\leqslant b,}$
• ${\displaystyle X}$ — випадкова величина,
• ${\displaystyle X^{+}=\max\{X,0\},}$
• ${\displaystyle X^{-}=\max\{-X,0\},}$

то перетворення Мелліна задається як:

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(s)=\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{+}}(x)+i\int \limits _{0}^{\infty }x^{s}dF_{X^{-}}(x),}$

де ${\displaystyle i}$ — уявна одиниця.

Перетворення Мелліна ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{X}(it)}$ випадкової величини ${\displaystyle X}$ однозначно визначає її функцію розподілу ${\displaystyle F_{x}}$.

Застосування

Перетворення Мелліна є важливим для інформаційних технологій, особливо для розпізнавання образів.

Таблиця перетворень Мелліна

${\displaystyle f(t)\qquad |\;t\;>\;0}$	${\displaystyle F(s)}$	${\displaystyle S(s)}$
${\displaystyle e^{-at}}$	${\displaystyle a^{-s}\cdot \Gamma (s)}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;>\;0}$
${\displaystyle u(t\;-\;a)\cdot t^{b}}$	${\displaystyle -\;{\frac {a^{s+b}}{s\;+\;b}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;<\;-\;\Re \{b\}}$
${\displaystyle u(a\;-\;t)\cdot t^{b}}$	${\displaystyle {\frac {a^{s+b}}{s\;+\;b}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;<\;-\;\Re \{b\}}$
${\displaystyle \left[{\frac {}{}}u(t\;-\;a)\;-\;u(t)\right]\cdot t^{b}}$	${\displaystyle -\;{\frac {a^{s+b}}{s\;+\;b}}}$	${\displaystyle \Re \{-s\}\;>\;-\;\Re \{b\}}$
${\displaystyle {\frac {1}{1\;+\;t}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}}$	${\displaystyle 0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle {\frac {1}{(1\;+\;t)^{b}}}}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (s)\cdot \Gamma (b\;-\;s)}{\Gamma (b)}}}$	${\displaystyle 0\;<\;\Re \{s\}\;<\;\Re \{b\}}$
${\displaystyle {\frac {1}{1\;-\;t}}}$	${\displaystyle \pi \;\cot(\pi s)}$	${\displaystyle 0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle {\frac {1}{1\;+\;t^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}}}$	${\displaystyle }$
${\displaystyle u(1\;-\;t)\cdot (1\;-\;t)^{z-1}}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (s)\cdot \Gamma (z)}{\Gamma (s\;+\;z)}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;>\;0}$
${\displaystyle u(t\;-\;1)\cdot (t\;-\;1)^{-w}}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (w\;-\;s)\cdot \Gamma (1\;-\;w)}{\Gamma (1\;-\;s)}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;<\;\Re \{w\}}$
${\displaystyle \sin(t)}$	${\displaystyle \Gamma (s)\cdot \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}$	${\displaystyle -1\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle \cos(t)}$	${\displaystyle \Gamma (s)\cdot \cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)}$	${\displaystyle 0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle u(t\;-\;1)\cdot \sin \left({\frac {}{}}z\;\ln(t)\right)}$	${\displaystyle {\frac {z}{s^{2}\;+\;z^{2}}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;<\;-\left|{\frac {}{}}\Im \{z\}\right|}$
${\displaystyle u(1\;-\;t)\cdot \sin \left({\frac {}{}}-\;z\;\ln(t)\right)}$	${\displaystyle {\frac {z}{s^{2}\;+\;z^{2}}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;>\;\left|{\frac {}{}}\Im \{z\}\right|}$
${\displaystyle \left[u(t)\;-\;u(t\;-\;a)\right]\cdot \ln \left({\frac {a}{t}}\right)}$	${\displaystyle {\frac {a^{s}}{s^{2}}}}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;>\;0}$
${\displaystyle \ln(t\;+\;1)}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{s\cdot \sin(\pi s)}}}$	${\displaystyle -1\;<\;\Re \{s\}\;<\;0}$
${\displaystyle u(b\;-\;t)\cdot \ln(b\;-\;t)}$	${\displaystyle -\;{\frac {b^{s}}{s}}\cdot \left[\Psi (s\;+\;1)\;+\;{\frac {\ln \gamma }{b}}\right]}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;>\;0}$
${\displaystyle {\frac {\ln(t\;+\;1)}{t}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{(1\;-\;s)\cdot \sin(\pi s)}}}$	${\displaystyle -1\;<\;\Re \{s\}\;<\;0}$
${\displaystyle \ln \left|{\frac {1\;+\;t}{1\;-\;t}}\right|}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{s}}\cdot \tan(\pi s)}$	${\displaystyle -1\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle {\frac {1}{e^{t}\;-\;1}}}$	${\displaystyle \Gamma (s)\cdot \zeta (s)}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;>\;1}$
${\displaystyle {\frac {1}{t}}\cdot e^{-{\frac {1}{t}}}}$	${\displaystyle \Gamma (1\;-\;s)}$	${\displaystyle -\infty \;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle e^{-x^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}\;\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)}$	${\displaystyle 0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle e^{ibt}}$	${\displaystyle b^{-s}\cdot \Gamma (s)\cdot e^{\frac {i\pi s}{2}}}$	${\displaystyle 0\;<\;\Re \{s\}\;<\;1}$
${\displaystyle \delta (t\;-\;a)}$	${\displaystyle a^{s-1}}$	${\displaystyle {\mathcal {C}}}$
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\delta (t\;-\;an)}$	${\displaystyle a^{s-1}\cdot \zeta (1\;-\;s)}$	${\displaystyle \Re \{s\}\;<\;0}$
${\displaystyle t^{b}}$	${\displaystyle \delta (b\;+\;s)}$	${\displaystyle \emptyset }$
де: ${\displaystyle u(t)\,}$ є функцією Гевісайда ${\displaystyle \delta (x)\,}$ є є дельта-функцією Дірака ${\displaystyle \Psi (x)\,}$ є Дигамма-функція ${\displaystyle \zeta (x)\,}$ — дзета-функція Рімана ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \;|\;a\;>\;0}$ ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} \;|\;\Re \{z\}\;>\;0\;\land \;\Re \{w\}\;<\;1}$ ${\displaystyle \gamma \,}$ — константа Ейлера ${\displaystyle S(s)}$ — область визначення функції ${\displaystyle F(s).}$

Примітки

1. Hardy, GH; Littlewood, J. E.  // Acta Mathematica : journal. — 1916. — No. 1. — P. 119-196. — DOI:10.1007 / BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen's and Mellin's work, including Cahen's thesis.)

Література

• R. B. Paris, Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals, Cambridge University Press, 2001
• A. D. Polyanin, Handbook of Integral Equations, CRC Press, 2008 ISBN 978-0-2038-8105-7