Оператор Дірака

Оператор Дірака — загальна назва диференціальних операторів, які є квадратними коренями деякого оператора другого порядку, найчастіше оператора Лапласа і його аналогів.

Тобто оператор ${\displaystyle D}$ є оператором Дірака для даного оператора другого порядку ${\displaystyle \Delta }$, якщо

${\displaystyle D^{2}=\Delta .}$

У фізиці високих енергій ця вимога часто послаблюється: передбачається тільки, що головна частина ${\displaystyle D^{2}}$ збігається з ${\displaystyle \Delta }$.

Приклад

• ${\displaystyle D=-i\cdot \partial _{x}}$ є оператором Дірака на дотичному розшаруванні над прямою.
• Для диференціальних форм на рімановому многовиді оператор Дірака можна визначити як

${\displaystyle D=\sum _{i}e_{i}\bullet \nabla _{e_{i}},}$

де ${\displaystyle e_{i}}$ — ортонормований репер у точці, ${\displaystyle \nabla }$ — зв'язність, а ${\displaystyle \bullet }$ — множення Кліфорда. Його квадрат

${\displaystyle D^{2}=\sum _{i,j}e_{i}\bullet e_{j}\bullet \nabla _{e_{i},e_{j}}^{2}}$

називається лапласіаном Дірака; для функцій він збігається з оператором Лапласа — Бельтрамі, але він також визначений на формах усіх степенів.

Література

• H. Blaine Lawson, Marie-Louise Michelsohn. Spin geometry. — 1989.