Обернений оператор

Якщо a відображає X на Y, то A^−1 відображає Y на X

Обернений оператор до оператора ${\displaystyle A}$ — оператор, який кожному ${\displaystyle y}$ із множини значень ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ оператора ${\displaystyle A}$ ставить у відповідність єдиний елемент ${\displaystyle x}$ із області визначення ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ оператора ${\displaystyle A}$, який є розв'язком рівняння ${\displaystyle Ax=y}$. Якщо оператор ${\displaystyle A}$ має обернений, тобто рівняння ${\displaystyle Ax=y}$ має єдиний розв'язок за будь-якого ${\displaystyle y}$ із ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$, то ${\displaystyle A}$ називають оборотним. Обернений оператор позначають ${\displaystyle A^{-1}}$[1].

Визначення та умови існування

Інше визначення: оператор ${\displaystyle B}$ називають оберненим до оператора ${\displaystyle A}$, якщо ${\displaystyle BA=I,\,AB=I}$, де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор. Якщо виконується тільки співвідношення ${\displaystyle BA=I}$ або тільки ${\displaystyle AB=I,}$ то оператор ${\displaystyle B}$ називають лівим оберненим або правим оберненим відповідно. Якщо оператор ${\displaystyle A}$ має лівий обернений і правий обернений, то вони рівні між собою, а оператор ${\displaystyle A}$ є оборотним[2]. Якщо обернений оператор існує, він визначається єдиним чином[3].

Оператор ${\displaystyle A}$ оборотний, якщо він відображає ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ на ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,A}$ взаємно однозначно, тобто за різних ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$ набуває різних значень ${\displaystyle y}$[4]. Якщо оператор ${\displaystyle A}$ — лінійний, то для існування оберненого оператора достатньо, щоб ${\displaystyle Ax=0}$ виконувалося тільки при ${\displaystyle x=0}$[5].

Лінійний оператор (навіть обмежений) може мати обернений, визначений не на всьому просторі. Наприклад, у просторі ${\displaystyle \ell _{2}}$ лінійний оператор

${\displaystyle A(x_{1},x_{2},x_{3},\dots )=(0,x_{1},x_{2},\dots )}$

має обернений, який визначено для векторів із першою координатою рівною нулю: ${\displaystyle x_{1}=0}$[5].

Властивості

• ${\displaystyle (A^{-1})^{-1}=A.}$[6]
• ${\displaystyle (A_{1}A_{2})^{-1}=A_{2}^{-1}A_{1}^{-1}.}$[3]
• Оператор ${\displaystyle A^{-1}}$, обернений до лінійного оператора, також лінійний[1].
• ${\displaystyle (A^{-1})^{*}=(A^{*})^{-1}}$, ${\displaystyle A^{*}}$ — спряжений оператор[7].

Теореми про обернений оператор

Теорема Банаха

Нехай ${\displaystyle A}$ — лінійний обмежений оператор, який взаємно однозначно відображає Банахів простір ${\displaystyle E}$ на Банахів простір ${\displaystyle E_{1}}$. Тоді обернений оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ обмежений.

Теорема Банаха є одним з основних принципів лінійного аналізу. З неї випливає теорема про відкрите відображення: лінійне неперервне відображення ${\displaystyle A}$ Банахового простору ${\displaystyle E}$ на (всі) Банахові простори ${\displaystyle E_{1}}$ відкрите[8].

Достатня умова існування оберненого оператора

• Нехай лінійний оператор ${\displaystyle A}$, який відображає лінійний нормований простір ${\displaystyle E}$ на лінійний нормований простір ${\displaystyle E_{1}}$, задовольняє для будь-якого ${\displaystyle x\in E}$ умові

${\displaystyle \|Ax\|\geq m\|x\|,}$

де ${\displaystyle m>0}$ — деяка константа. Тоді існує обернений обмежений лінійний оператор ${\displaystyle A^{-1}}$[9].

• Нехай ${\displaystyle A}$ — лінійний обмежений оборотний оператор, що діє з Банахового простору ${\displaystyle E}$ в Банахів простір ${\displaystyle E_{1}}$ і ${\displaystyle \Delta A}$ — лінійний обмежений оператор з ${\displaystyle E}$ в ${\displaystyle E_{1}}$ такий, що ${\displaystyle \|\Delta A\|<1/\|A^{-1}\|}$. Тоді оператор ${\displaystyle B=A+\Delta A}$ має обмежений обернений, причому

${\displaystyle \|B^{-1}-A^{-1}\|\leq {\frac {\|\Delta A\|}{1-\|A^{-1}\|\|\Delta A\|}}\|A^{-1}\|^{2}}$[10][11].

• Нехай ${\displaystyle E}$ — Банахів простір, ${\displaystyle I}$ — тотожний оператор в ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle A}$ — такий лінійний обмежений оператор, який відображає ${\displaystyle E}$ в себе, що ${\displaystyle \|A\|<1}$. Тоді оператор ${\displaystyle (I-A)^{-1}}$ існує, обмежений і подається у вигляді ряду

${\displaystyle (I-A)^{-1}=\sum \limits _{k=1}^{\infty }A^{k}}$[12].

Приклади

Перетворення Фур'є

${\displaystyle g(\lambda )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\lambda t}dt}$

можна розглядати як лінійний обмежений оператор, що діє з простору ${\displaystyle L_{2}(-\infty ,\infty )}$ в себе. Оберненим оператором для нього є обернене перетворення Фур'є

${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\lambda )e^{i\lambda t}d\lambda }$[13].

Оператори інтегрування та диференціювання

Для оператора інтегрування

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{t}x(\tau )\,d\tau ,}$

який діє в просторі неперервних функцій ${\displaystyle C[0,1]}$, оберненим буде оператор диференціювання:

${\displaystyle A^{-1}y={\frac {d}{dt}}y(t),}$

визначений на лінійному многовиді неперервно диференційовних функцій, таких що ${\displaystyle y(0)=0}$[14].

Оператор Штурма — Ліувілля

Для диференціального оператора Штурма — Ліувілля

${\displaystyle Ax={\frac {d}{dt}}\left\{p(t){\frac {dx}{dt}}\right\}+q(t)x,}$

визначеного на лінійному многовиді двічі неперервно диференційовних функцій таких, що ${\displaystyle x(0)=x(1)=0}$, оберненим оператором є інтегральний оператор

${\displaystyle A^{-1}y=\int \limits _{0}^{1}G(t,\tau )y(\tau )\,d\tau ,}$

де ${\displaystyle G(t,\tau )}$ — функція Гріна. ${\displaystyle A^{-1}}$ — лінійний обмежений оператор у ${\displaystyle C[0,1]}$[14].

Інтегральний оператор

Нехай

${\displaystyle Ax=\int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

— інтегральний оператор у просторі безперервних функцій ${\displaystyle C[0,1]}$. За достатньо малих значень параметра ${\displaystyle \lambda }$ оператор ${\displaystyle (I-\lambda A)}$ (де ${\displaystyle I}$ — одиничний оператор) має обмежений обернений

${\displaystyle (I-\lambda A)^{-1}y=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}R(t,s,\lambda )y(s)\,ds}$,

де ${\displaystyle R(t,s,\lambda )}$ — резольвента ядра ${\displaystyle K(t,s)}$. Знаючи резольвенту, можна знайти розв'язок інтегрального рівняння

${\displaystyle x(t)=y(t)+\lambda \int \limits _{0}^{1}K(t,s)x(s)\,ds}$

за будь-якого вільного члена ${\displaystyle y(t)}$[15].

Обернений оператор у скінченновимірному просторі

Оператор у скінченновимірному просторі оборотний тоді й лише тоді, коли його ранг збігається з розмірністю простору. Інакше кажучи, визначник його матриці відмінний від нуля. Оберненому оператору відповідає обернена матриця[16].

Див. також

• Лінійне відображення
• Обернена функція
• Ізоморфізм
• Банахів простір
• Лінійний неперервний оператор

Примітки

1. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 225.
2. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 128.
3. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 168.
4. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 351.
5. Рисс Ф., Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу, 1979, с. 319.
6. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 154.
7. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 207.
8. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава IV, §5, п. 4.
9. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 155.
10. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 157.
11. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 229.
12. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, с. 230.
13. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 1976, глава VIII.
14. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 161.
15. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, 1965, с. 163.
16. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. Учеб. для вузов. — 5-e изд. — М. : Физматлит, 2002. — 320 с. — ISBN 5-9221-0129-3.

Література

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)
• Люстерник Л. А., Соболев В. И.^[ru]. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб. — М. : Наука, 1965. — 520 с.
• Рисс Ф.^[ru], Сёкефальви-Надь Б.^[ru]. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.
• Соболев В. И.^[ru] Обратное отображение // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3. — 592 с. — 150 000 экз.