Недезаргова площина

Недезаргова площина — це проєктивна площина, яка не задовольняє теоремі Дезарга, іншими словами, яка не є дезарговою. Теорема Дезарга виконується у всіх проєктивних просторах розмірності, відмінної від 2[1], тобто, для всіх класичних проєктивних геометрій над полем (або тілом), проте Гільберт виявив, що деякі проєктивні площини не задовольняють теоремі.

Приклади

Деякі приклади є скінченними геометріями. Для скінченної проєктивної площини порядок на одиницю менший від числа точок на прямій (це константа для всіх прямих). Деякі приклади недезаргових площин:

Класифікація

За Вайбелем[3], Х. Ленц дав схему класифікації для проєктивних площин 1954 року[4] і її допрацював А. Барлотті 1957 року[5]. Ця схема класифікації ґрунтується на типах транзитивності точка-пряма, дозволених групою колінеації[en] площини і відома як класифікація проєктивних площин Ленца — Барлотті. Список 53 типів дано в книзі Дембовскі[6]. Таблиця відомих результатів про існування (для груп колінеації і площин, що мають такі групи колінеації) як для скінченного, так і нескінченного випадку, міститься на сторінці 126 книги. За словами Вайбеля, «36 із них існують як скінченні групи. Від 7 до 12 існують як скінченні проєктивні площини і 14 або 15 існують як нескінченні проєктивні площини.»

Існують і інші схеми класифікації. Одна з найпростіших схем базується на типі плоского тернарного кільця[en], яке можна використовувати для введення координат на проєктивній площині. Ці типи: поле, тіло, альтернативні тіла, напівполя[en], майже поля[en], праві майже поля[en], квазіполя[en] і праві квазіполя[en][7].

Конічні перетини

У дезарговій проєктивній площині конічний перетин можна визначити різними еквівалентними способами. У недезаргових площинах доведення еквівалентності виявляються хибними і різні визначення можуть дати нееквівалентні об'єкти[8]. Остром Т. Г. запропонував назву конкоїд для цих подібних конічних перетинів фігур, але не навів формального визначення і термін, як видно, не набув поширення[9].

Існує кілька способів визначення конічних перетинів на дезаргових площинах:

  1. Множина абсолютних точок[10] полярності відома як конічний перетин фон Штаудта[en]. Якщо площина визначена над полем характеристики два, отримаємо тільки вироджені конічні перетини[en].
  2. Множина точок перетинів відповідних прямих двох пучків, які проєктивно, але не перспективно, пов'язані, відома як конічний перетин Штейнера[en]. Якщо пучки перспективно пов'язані, перетин вироджений.
  3. Множина точок, координати яких задовольняють незвідному однорідному рівнянню другого степеня.

Крім того, на скінченній дезарговій площині:

  2. Множина q + 1 точок, ніякі три з яких не колінеарні в PG(2,q), називають овалом. Якщо q непарне, овал є конічним перетином у сенсі пункту 3 вище.
  3. Конічний перетин Острома ґрунтується на узагальненнях гармонічних множин.

Артці дав приклад конічних перетинів Штейнера на муфанговій площині, які не є перетинами фон Штаудта[11]. Гарнер навів приклад конічного перетину фон Штаудта, який не є конічним перетином Острома на скінченній площині напівполя[8].

Примітки

  1. ↑ Теорема Дезарга тривіально, але беззмістовно істинна в розмірності 1. Проблема виникає тільки в розмірності 2.
  2. ↑ див. книгу Рума і Кіркпатрика (Room, Kirkpatrick, 1971) з описом усіх чотирьох площин порядку 9.
  3. ↑ Weibel, 2007, с. 1296.
  4. ↑ Lenz, 1954, с. 20–31.
  5. ↑ Barlotti, 1957, с. 212–226.
  6. ↑ Dembowski, 1968, с. 124—5.
  7. ↑ Colbourn, Dinitz, 2007, с. 723, стаття про скінченну геометрію Лео Сторме.
  8. ↑ а б Garner, 1979, с. 132–138.
  9. ↑ Ostrom, 1981, с. 175–196.
  10. ↑ У просторі з полярністю (відображенням точок у прямі порядку два зі збереженням інцидентності) точка є абсолютною, якщо лежить на своєму образі, а пряма є абсолютною, якщо проходить через свій образ (точку).
  11. ↑ Artzy, 1971, с. 30–35.

Література

  • Albert A.A., Sandler R. An Introduction to Finite Projective Planes. — New York : Holt, Rinehart and Winston, 1968.
  • Colbourn C.J., Dinitz J.H. Handbook of Combinatorial Designs. — 2nd. — Boca Raton : Chapman & Hall/ CRC, 2007. — ISBN 1-58488-506-8.
  • Dembowski P. Finite Geometries. — Berlin : Springer Verlag, 1968.
  • Hall M. Projective planes. — Transactions of the American Mathematical Society. — American Mathematical Society, 1943. — Т. 54. — С. 229–277. — DOI:10.2307/1990331.
  • Hughes D.R., Piper F.C. Projective Planes. — New York : Springer Verlag, 1973. — ISBN 0-387-90044-6.
  • Kárteszi F. Introduction to Finite Geometries. — Amsterdam : North-Holland, 1976. — ISBN 0-7204-2832-7.
  • Lüneburg H. Translation Planes. — Berlin : Springer Verlag, 1980. — ISBN 0-387-09614-0.
  • Room T. G., Kirkpatrick P. B. Miniquaternion Geometry. — Cambridge : Cambridge University Press, 1971. — ISBN 0-521-07926-8.
  • Sidorov L.A. Non-Desarguesian_geometry // [1] / Hazewinkel M. — Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, 2001. — ISBN 978-1-55608-010-4. Архівовано з джерела 7 вересня 2017
  • Stevenson F.W. Projective Planes. — San Francisco : W.H. Freeman and Company, 1972. — ISBN 0-7167-0443-9.
  • Weibel C. Survey of Non-Desarguesian Planes // Notices of the AMS. — 2007. — Т. 54, вип. 10 (25 грудня). — С. 1294–1303. Архівовано з джерела 5 березня 2019. Процитовано 15 жовтня 2021.
  • Lenz H. Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. — 1954. — Т. 57 (25 грудня).
  • Barlotti A. Le possibili configurazioni del sistema delle coppie punto-retta (A,a) per cui un piano grafico risulta (A,a)-transitivo // Boll. Un. Mat. Ital.. — 1957. — Т. 12 (25 грудня).
  • Garner C.W.L. Conics in Finite Projective Planes // Journal of Geometry. — 1979. — Т. 12, вип. 2 (25 грудня). — DOI:10.1007/bf01918221.
  • Artzy R. The Conic y=x2 in Moufang Planes // Aequationes Mathematicae. — 1971. — Т. 6 (25 грудня). — DOI:10.1007/bf01833234.
  • Ostrom T.G. Conicoids: Conic-like figures in Non-Pappian planes // Geometry - von Staudt's Point of View / Plaumann P., Strambach K. — D. Reidel, 1981. — ISBN 90-277-1283-2.