Напівалгебрична множина

Напівалгебри́чна множина́ — підмножина, що визначається скінченною системою поліноміальних рівнянь і нерівностей. Наприклад, півкруг є напівалгебричною множиною, оскільки його можна визначити системою

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}x^{2}+y^{2}\leqslant 1,\\y\geqslant 0.\end{aligned}}\right.}$

Визначення

Нехай ${\displaystyle R}$ — поле дійсних чисел, або, загальніше, замкнуте дійсне поле^[en].

Множина ${\displaystyle S}$ в ${\displaystyle R^{n}}$ напівалгебрична, якщо вона визначається кінцевою системою поліноміальних рівнянь вигляду ${\displaystyle P(x_{1},...,x_{n})=0}$ і нерівностей вигляду ${\displaystyle Q(x_{1},...,x_{n})>0}$, або будь-яким скінченним об'єднанням таких множин.

Пов'язані визначення

• Напівалгебрична функція — функція з напівалгебричним графіком.

Властивості

• Скінченні об'єднання і перетини напівалгебричних множин напівалгебричні. (Те ж істинне й для алгебричних подмноговидів.)

• Доповнення напівалгебричних множин також напівалгебричні.

• (Теорема Зайденберга — Тарського^[ru]) Проєкція напівалгебричної множини напівалгебрична.

• Напівалгебрична множина на щільній відкритій підмножині є локально алгебричним підмноговидом.
  • Розмірність напівалгебричної множини визначається як максимальна розмірність таких локальних многовидів.

Див. також

• Екзистенційна теорія дійсних чисел

Література

• Bochnak, J.; Coste, M.; Roy, M.-F. (1998), Real algebraic geometry, Berlin: Springer-Verlag.
• Bierstone, Edward; Milman, Pierre D. (1988), Semianalytic and subanalytic sets, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 67: 5—42, doi:10.1007/BF02699126, архів оригіналу за 8 серпня 2014, процитовано 3 грудня 2021.
• van den Dries, L. (1998), Tame topology and o-minimal structures, Cambridge University Press.

Посилання

• Сторінка PlanetMath [Архівовано 5 грудня 2017 у Wayback Machine.]