Лукаш Грошшо починав займатися футболом у віці восьми років у клубі «Нітра». Починав грати як польовий гравець[1] і тільки в десятирічному віці став у ворота.[2] У травні 2007 року Грошшо дебютував у чемпіонаті Словаччині в основі «Нітри». Але після цього ще тривалий час залишався другим воротарем команди.
У 2013 році воротар перейшов до чеського «Слована» (Ліберець)[3] і в листопаді того року дебютував у першій команді.[4] Провівши в Чехії три сезони, Грошшо виграв з клубом Кубок Чехії.
Провівши ще один сезон у складі столичної «Дукли», у січні 2017 року Грошшо повернувся до Словаччини, у клуб «Нітра».[5] У сезоні 2017/18 його було визнано кращим воротарем чемпіонату Словаччини.[6]
У січні 2019 року Грошшо підписав контракт до кінця сезону з польським клубом «Заглембє» (Сосновець).[7] А після завершення контракту, влітку 2019 року на правах вільного агенту перейшов до клубу Екстракласи «Краковія».[8] У 2020 році у складі «Краковії» Грошшо ставав переможцем Кубка та Суперкубка Польщі.[9]