Компактно породжений простір

У топології гаусдорфів топологічний простір називається компактно породженим (також k - простором) якщо у ньому множина є замкнутою, тоді і тільки тоді коли її перетин із кожною компактною підмножиною цього простору є замкнутою підмножиною. Означення для негаусдорфових просторів загалом можуть відрізнятися у літературі і терміни компактно породжений простір і k-можуть використовуватися для деяких різних просторів.

Категорія компактно породжених просторів активно використовується у випадках коли властивості звичайної категорії топологічних просторів не є задовільними для конкретної ситуації. Зокрема категорія топологічних просторів не є декартово замкнутою, добуток відображень на фактор-простори може не бути відображенням на фактор-простір, а добуток CW-комплексів може не бути CW-комплексом.

Означення

Існують кілька різних загалом нееквівалентних означень компактно породжених просторів. Тут наведено найпоширеніші.

Означення 1

Топологічний простір ${\displaystyle X}$ називають компактно породженим простором, якщо його топологія узгоджується з сім'єю всіх його компактних підпросторів, тобто якщо в ньому для усіх підмножин ${\displaystyle A\subset X}$ виконуються еквівалентні умови:

• Множина ${\displaystyle A}$ є замкнутою в ${\displaystyle X}$ тоді і тільки тоді, коли будь-який її перетин ${\displaystyle A\cap K}$ із довільною компактною множиною ${\displaystyle K\subset X}$ є замкнутим у ${\displaystyle K}$.
• Множина ${\displaystyle A}$ є відкритою в ${\displaystyle X}$ тоді і тільки тоді, коли будь-який її перетин ${\displaystyle A\cap K}$ із довільною компактною множиною ${\displaystyle K\subset X}$ є відкритим у ${\displaystyle K}$.
• Множина ${\displaystyle A}$ є відкритою (замкнутою) в ${\displaystyle X}$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого компактного простору ${\displaystyle K}$ і довільного неперервного відображення ${\displaystyle f:K\to X}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ є відкритим (замкнутим) у ${\displaystyle K}$.

Із цим означенням очевидно, що компактний простір ${\displaystyle X}$ є компактно породженим адже множина ${\displaystyle A}$ є рівною ${\displaystyle A\cap X}$ і оскільки її перетин з усіма компактними підмножинами є замкнутим у цих підмножинах, то і ${\displaystyle A=A\cap X}$ є замкнутою підмножиною ${\displaystyle A}$.

Часто під компактно породженим простором розуміють тільки гаусдорфові простори, що задовольняють вказані умови.

Для гаусдорфових просторів можна дати ще одне еквівалентне означення компактно породженого простору: гаусдорфів простір ${\displaystyle X}$ є компактно породженим простором, в тому і тільки в тому випадку, якщо він є гомеоморфним фактор-простору деякого локально компактного гаусдорфового простору.

Означення 2

Іншим популярним варіантом означення є:

• Множина ${\displaystyle A}$ є відкритою (замкнутою) в ${\displaystyle X}$ тоді і тільки тоді, коли для будь-якого гаусдорфового компактного простору ${\displaystyle K}$ і довільного неперервного відображення ${\displaystyle f:K\to X}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ є відкритим (замкнутим) у ${\displaystyle K}$.

Від попереднього означення цей варіант відрізняється вимогою гаусдорфовості компактних просторів ${\displaystyle K}$.

Приклад нееквівалентності означень

Для гаусдорфових просторів два означення є еквівалентними. У загальному випадку простір, що задовольняє друге означення також задовольняє перше. Справді якщо для другого означення ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ є замкнутою підмножиною для всіх гаусдорфових компактних просторів ${\displaystyle K}$ і довільних неперервних відображень ${\displaystyle f:K\to X}$ то ${\displaystyle A}$ є замкнутою і прообраз ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ є замкнутим для відображень із усіх просторів, зокрема усіх компактних просторів, тобто задовольняються умови першого означення.

Натомість компактний негаусдорфовий простір ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}}$ (добуток одноточкових компактифікацій простору раціональних чисел із топологією індукованою стандартною топологією дійсних чисел) є компактним, а тому задовольняє перше означення але не друге.

Дійсно, як показано у статтях Слабкий гаусдорфів простір і Одноточкова компактифікація цей простір є слабким гаусдорфовим але не є KC-простором (тобто простором у якому всі компактні підмножини є замкнутими). Але у слабкому гаусдорфовому просторі кожна компактна підмножина ${\displaystyle C}$ є ${\displaystyle k}$-замкнутою, тобто для будь-якого гаусдорфового компактного простору ${\displaystyle K}$ і довільного неперервного відображення ${\displaystyle f:K\to X}$ її прообраз ${\displaystyle f^{-1}(C)}$ є замкнутою множиною.

Справді нехай ${\displaystyle K}$ є компактним гаусдорфовим простором і ${\displaystyle f:K\to X}$ — неперервним відображенням. Оскільки ${\displaystyle X}$ є слабким гаусдорфовим, то множина ${\displaystyle f(K)}$ є замкненою у ${\displaystyle X}$. Множина ${\displaystyle f(K)\cap C}$ є компактною як замкнута підмножина компактної множини ${\displaystyle C}$. Із властивостей слабких гаусдорфових просторів також випливає, що ${\displaystyle f(K)}$ є гаусдорфовим підпростором. Тому ${\displaystyle f(K)\cap C}$ також є замкненою підмножиною в ${\displaystyle f(K)}$, а тому також у ${\displaystyle X}$. Оскільки ${\displaystyle f}$ є неперервним відображенням то ${\displaystyle f^{-1}(C)=C^{-1}(C\cap f(K))}$ є замкнутою підмножиною у ${\displaystyle K}$.

Наприклад діагональ простору ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}\times \mathbb {Q} ^{*}}$ не є замкнутою але вона є компактною і тому її прообраз при будь-якому неперервному відображенні із гаусдорфового компактного простору ${\displaystyle K}$ є замкнутою підмножиною у ${\displaystyle K}$. Звідси випливає також, що компактні простори можуть не бути компактно породженими у другому означенні.

Компактно породжене поповнення топології

Для довільного топологічного простору X можна ввести топологію на X, яка є компактно породженою і містить початкову топологію. Нехай {K_α} позначає сім'ю компактних підмножин у X. У новій топології на X підмножина A буде замкненою якщо і тільки якщо A ∩ K_α є замкненою у K_α для всіх α. Нехай простір із новою топологією позначається X_c. Тоді компактними підмножинами у X_c є компактні підмножини із X і успадковані топології на всіх компактних підмножинах для двох топологій є однаковими. Зокрема X_c є компактно породженим простором (для першого означення). Якщо сам простір X є компактно породженим то X_c = X, в іншому випадку топологія X_c є строго більшою, ніж X.

Аналогічно можна ввести поповнення топології X_hc для якого підмножина A буде замкнутою якщо і тільки якщо для будь-якого гаусдорфового компактного простору ${\displaystyle K}$ і довільного неперервного відображення ${\displaystyle f:K\to X}$ прообраз ${\displaystyle f^{-1}(A)}$ є замкнутим у ${\displaystyle K}$. Знову ж компактними підмножинами у X_hc є компактні підмножини із X і успадковані топології на всіх компактних підмножинах для двох топологій є однаковими. Зокрема X_hc є компактно породженим простором (для другого означення). Якщо сам простір X є компактно породженим то X_hc = X, в іншому випадку топологія X_hc є строго більшою, ніж X.

Загалом топологія X_hc може бути більшою за топологію X_c, для гаусдорфових просторів вони є однаковими.

Відображення у компактно породжених просторах

• Відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ компактно породженого простору ${\displaystyle X}$ у довільний топологічний простір ${\displaystyle Y}$ є неперервним в тому і тільки в тому випадку, якщо будь-яке звуження цього відображення ${\displaystyle f|_{K}}$ на довільну компактну множину ${\displaystyle K}$ є неперервним.

• Неперервне відображення ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ довільного топологічного простір ${\displaystyle X}$ у компактно породжений простір ${\displaystyle Y}$ є замкнутим (відкритим, відображенням на фактор-простір) в тому і тільки в тому випадку, якщо для кожної компактної підмножини ${\displaystyle K}$ з області значень ${\displaystyle Y}$ звуження цього відображення ${\displaystyle f_{K}\colon f^{-1}(K)\to K}$ є замкнутим (відповідно відкритим, відображенням на фактор-простір).

• Якщо відображення ${\displaystyle f_{1}\colon X_{1}\to Y_{1}}$ і ${\displaystyle f_{2}\colon X_{2}\to Y_{2}}$ є відображеннями на фактор-простір і ${\displaystyle X_{1}}$ і ${\displaystyle X_{2}}$, а також добуток просторів ${\displaystyle Y_{1}\times Y_{2}}$ є компактно породженими просторами, то декартовій добуток цих відображень ${\displaystyle f_{1}\times f_{2}\colon X_{1}\times X_{2}\to Y_{1}\times Y_{2}}$ є відображеннями на фактор-простір.
• Якщо ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ є неперервним відображенням між топологічними просторами, то відображення ${\displaystyle f\colon X_{c}\to Y_{c}}$ і ${\displaystyle f\colon X_{hc}\to Y_{hc}}$ між тими ж просторами із відповідними компактно породженими топологіями, теж будуть неперервними.

Стабільність при операціях

Кожен відкритий чи замкнути підпростір гаусдорфового компактно породженого простору є компактно породженим простором. Однак довільний підпростір гаусдорфового компактно породженого простору може не бути компактно породженим простором.

Сума сім'ї топологічних просторів є компактно породженим простором тоді і тільки тоді, коли всі простори із цієї сім'ї є компактно породженими просторами.

Добуток гаусдорфового компактно породженого простору і локально компактного гаусдорфового простору є компактно породженим простором. При цьому добуток двох компактно породжених просторів у загальному випадку не є компактно породженим простором. Тому у категорії компактно породжених просторів добуток просторів вводять як (X × Y)_c.

Гаусдорфів образ гаусдорфового компактно породженого простору при відображенні на фактор-простір (зокрема, при відкритому або замкнутому відображенні) є компактно породженим простором. При цьому образ гаусдорфового компактно породженого простору при довільному неперервному відображенні може не бути компактно породженим простором, навіть якщо він є цілком нормальним.

Зв'язок з іншими класами просторів

Будь-який повний зі Чехом простір (зокрема будь-який локально компактний гаусдорфів простір, а отже і будь-який топологічний многовид) є компактно породженими просторами.

Кожен секвенційний простір (зокрема будь-який простір з першою аксіомою зліченності, а отже і будь-який метричний простір) є компактно породженими просторами.

Будь-який простір точково зліченного типу є компактно породженим простором.

Кожен CW-комплекс є компактно породженим простором.

Література

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — Москва : Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — Москва : Наука, 1968.
• Спеньер, Э. Алгебраическая топология. — Москва : Мир, 1971. — 680 с.