Канонічне перетворення

Канонічні перетворення — заміна узагальнених координат та узагальнених імпульсів класичної механічної системи на інші, при якій зберігається вигляд основних рівнянь гамільтонової механіки — рівнянь Гамільтона.

У гамільтоновій механіці стан механічної системи задається узагальненими координатами ${\displaystyle q_{i}}$ та імпульсами ${\displaystyle p_{i}}$, які вважаються незалежними змінними, та функцією Гамільтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}(q_{i},p_{i})}$. Рівняння Гамільтона мають вигляд

${\displaystyle {\dot {q}}_{i}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q_{i}}}}$

При переході до нових змінних ${\displaystyle Q_{i}}$ та ${\displaystyle P_{i}}$ форма запису рівнянь Гамільтона загалом не зберігається. Однак серед усіх таких переходів існує клас, який зберігає рівняння Гамільтона в незмінному вигляді при деякій новій функції Гамільтона ${\displaystyle {\mathcal {H}}^{\prime }(Q_{i},P_{i})}$. Такі перетворення називаються канонічними.

Твірна функція

Рівняння Гамільтона можна отримати з принципу найменшої дії, записаному у вигляді

${\displaystyle \delta \int \left(\sum _{i}p_{i}dq_{i}-{\mathcal {H}}dt\right)=0}$

В нових змінних теж повинно виконуватися

${\displaystyle \delta \int \left(\sum _{i}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}^{\prime }dt\right)=0}$

Рівності нулю варіацій двох виразів можна добитися, якщо ці вирази відрізняються на повний диференціал довільної функції F. Звідси

${\displaystyle \sum _{i}p_{i}dq_{i}-{\mathcal {H}}dt=\sum _{i}P_{i}dQ_{i}-{\mathcal {H}}^{\prime }+dF}$,

або

${\displaystyle dF=\sum _{i}p_{i}dq_{i}-\sum _{i}P_{i}dQ_{i}+({\mathcal {H}}^{\prime }-{\mathcal {H}})dt}$.

Тому

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial F}{\partial q_{i}}},\qquad P_{i}=-{\frac {\partial F}{\partial Q_{i}}},\qquad {\mathcal {H}}^{\prime }={\mathcal {H}}-{\frac {\partial F}{\partial t}}}$,

що є системою рівнянь, з яких можна визначити нові змінні через старі.

Фунція F називається твірною функцією канонічного перетворення. Твірну функцію можна вибирати різним чином. У наведених вище виразах вона вибрана залежною від старих і нових координат та часу ${\displaystyle F=F(q_{i},Q_{i},t)\,}$. Вибравши твірну функцію можна визначити нові координати, імпульси та нову фунцію Гамільтона, розв'язуючи наведену систему рівнянь.

Твірна функція залежна від старих координат і нових імпульсів

Якщо твірна функція залежить від старих координат і нових імпульсів: ${\displaystyle F_{1}=F_{1}(q_{i},P_{i})\,}$ система рівнянь для знаходження зв'язку між новими та старими змінними має вигляд:

${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial P_{i}}},\qquad p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}},\qquad {\mathcal {H}}^{\prime }={\mathcal {H}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}.}$

Твірна функція залежна від нових координат і старих імпульсів

Система рівнянь для знаходження зв'язку між новими й старими змінними при твірній функції ${\displaystyle F_{2}=F_{2}(Q_{i},p_{i})\,}$ записується у вигляді

${\displaystyle P_{i}=-{\frac {\partial F_{2}}{\partial Q_{i}}},\qquad q_{i}=-{\frac {\partial F_{2}}{\partial p_{i}}},\qquad {\mathcal {H}}^{\prime }={\mathcal {H}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}.}$

Твірна функція залежна від старих і нових імпульсів

При твірній функції ${\displaystyle F_{3}=F_{3}(p_{i},P_{i})\,}$, система рівнянь для знаходження зв'язку між старими й новими змінними набуває вигляду

${\displaystyle q_{i}=-{\frac {\partial F_{3}}{\partial p_{i}}},\qquad Q_{i}={\frac {\partial F_{3}}{\partial P_{i}}},\qquad {\mathcal {H}}^{\prime }={\mathcal {H}}-{\frac {\partial F_{3}}{\partial t}}.}$

Часткові канонічні перетворення

Одним із канонічних перетворень є перетворення, в якому ${\displaystyle P_{i}=-q_{i}\,}$ , а нові координати ${\displaystyle Q_{i}=p_{i}\,}$. В цьому випадку імпульси й координати наче міняються місцями, різниця між ними втрачається, тому при застосуванні гамільтонової механіки величини q і p часто називають просто канонічно спряженими змінними.

Сам рух можна розглядати, як канонічні перетворення. Якщо в певний момент часу t змінні мали значення ${\displaystyle q_{i}(t)\,}$ та ${\displaystyle p_{i}(t)\,}$, то в момент часу ${\displaystyle t+\tau }$ їхні значення ${\displaystyle q_{i}(t+\tau )\,}$ та ${\displaystyle p_{i}(t+\tau )\,}$ однозначно визначаються початковими умовами і задовольняють тим же рівнянням Гамільтона. Їх можна вибрати новими канонічно спряженими змінними.

Застосування

Канонічні перетворення застосовуються для спрощення задач класичної механіки або ж для побудови зручних способів знаходження наближених розв'язків.

Історія

Впреше канонічні перетворення застосував у 1846 році Шарль-Ежен Делоне, розглядаючи задачу про обертання Місяця навколо Землі одночасно з обертанням цих небесних тіл навколо Сонця.

Джерела

• Федорченко А. М. (1975). Теоретична механіка. Київ: Вища школа., 516 с.

• Ландау Л.  Д., Лифшиц Е.  М. (1958). Механика. Теоретическая физика, т. 1. Москва: Госиздат., 206 с.