Збіжність за Ейлером

Збі́жність за Е́йлером — узагальнення поняття збіжності знакозмінного ряду, запропоноване Ейлером.

Визначення

Нехай дано числовий ряд ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$ Ряд називають збіжним за Ейлером, якщо існує границя:[1]

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {\Delta ^{k}a_{0}}{2^{k+1}}}=s_{e}(A)}$

Приклад

• Розглянемо ряд ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}2^{k}}$. Послідовностями різниць будуть ${\displaystyle 1,2,4,8,16,...}$, ${\displaystyle -1,-2,-4,-8,...}$, ${\displaystyle 1,2,4,8,...}$, ${\displaystyle -1,-2,-4,-8,...}$, перетворення Ейлера приводить до ряду ${\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+...={\frac {1}{3}}}$.

Властивості

• Підсумовування за Ейлером є лінійним і регулярним[1].

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном — Абелем

Примітки

1. Воробьев, 1986, с. 306.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М. : Наука, 1986. — 408 с.