Еліпсограф

Кінематика еліпсографа

3D-модель еліпсографа у дії

Еліпсо́граф або еліпсограф Архімеда — це механізм, що перетворює вертально-поступний рух в рух по еліпсу[1]. Історія цього механізму точно не визначена, але вважається, що еліпсографи існували ще у часи Діадоха чи навіть у часи Архімеда[2].

Будова

Він складається з двох повзунів, що можуть рухатися по двох взаємно перпендикулярних канавках чи напрямних. Повзуни прикріплені до стрижня за допомогою шарнірів, і розташовані на фіксованій відстані один від одного уздовж стрижня. Повзуни рухаються лінійно — кожен своєю канавкою, — і при цьому кінець стрижня описує еліпс на площині. Півосі еліпса a і b є відстанями від кінця стрижня до шарнірів кріплення повзунів. Зазвичай відстані a і b можна змінювати, і тим самим змінювати форму і розміри еліпса, що описується.

Використання

Такий механізм застосовується як креслярський інструмент, як напрямний механізм для різального інструменті також при розкрою листів матеріалу (скла, картону, фанери тощо), а також при фрезеруванні кругів та еліпсів ручною фрезерною машиною.

Математичний опис

Геометрична побудова до математичного опису еліпсографа

Нехай C — це кінець стрижня, і A, B — шарніри на повзунах. Нехай p і q — відстані від A до B, і від B до C, відповідно. Координатні осі y та x проведемо таким чином, що рух повзунів A і B буде відбуватись уздовж цих осей, відповідно. У випадку, коли стрижень утворює кут θ з віссю x, координати точки C визначаються рівняннями

${\displaystyle x=(p+q)\cos \theta \,}$

${\displaystyle y=q\sin \theta \,.}$

Це є рівняння еліпса у параметричній формі запису.

У загальнішому випадку напрямні, по яких рухаються повзуни, можуть розташовуватись під кутом, відмінним від прямого, а точки A, B і C можуть лежати не на прямій лінії. Результуюча траєкторія точки C залишиться еліпсом.[2]

Див. також

• Шарнірні механізми для побудови лемніскати Бернуллі.

Примітки

1. Schwartzman, Steven (1996). The Words of Mathematics. The Mathematical Association of America. ISBN 0883855119. (restricted online copy, с. 223, на «Google Books»)
2. Wetzel, John E. (February 2010). An Ancient Elliptic Locus. American Mathematical Monthly. 117 (2): 161—167.

Література

• J. W. Downs Practical Conic Sections: The Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. Courier Dover: 2003, — p. 4-5. ISBN 9780486428765,

Посилання

• Викреслювання та вирізання еліпса на деревині [Архівовано 6 липня 2010 у Wayback Machine.] (англ.)
• Фото іграшки на основі еліпсографа [Архівовано 13 березня 2022 у Wayback Machine.]
• Відео [Архівовано 10 березня 2015 у Wayback Machine.] іграшки, створеної на основі конструктора «Lego»