Вкладені радикали

В алгебрі вкладеним радикалом називають радикал, що міститься в іншому радикалі. Наприклад

${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}$

або складніший приклад

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}$

Значення всіх вкладених радикалів називають виразни́ми в радикалах.

Спрощення вкладених радикалів

Деякі вкладені радикали можна спростити. Наприклад:

${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}$

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}$

У загальному випадку спрощення є складною проблемою, якщо воно взагалі можливе. Коли ${\displaystyle R={\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}$ раціональне, зробити спрощення дозволяє така формула:

${\displaystyle {\sqrt {a\pm b{\sqrt {c}}}}={\sqrt {\frac {a+R}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-R}{2}}}.}$

Наприклад,

${\displaystyle {\sqrt {a\pm {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}={\sqrt {\frac {a+b}{2}}}\pm {\sqrt {\frac {a-b}{2}}}\quad (|a|\geq |b|).}$

Зокрема, для комплексних чисел (${\displaystyle c=-1}$):

${\displaystyle {\sqrt {a+bi}}=\pm \left({\sqrt {\frac {\left|z\right|+a}{2}}}+i\operatorname {sgn}(b){\sqrt {\frac {\left|z\right|-a}{2}}}\right),}$ де ${\displaystyle \left|z\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Нескінченно вкладені радикали

Загальні положення

У деяких випадках нескінченно вкладені радикали можуть бути тотожними деякому раціональному числу, наприклад вираз

${\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}$

дорівнює 2. Для того щоб це побачити, піднеседемо обидві частини виразу до квадрата і віднімемо 2:

${\displaystyle x^{2}-2={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}=x}$;

${\displaystyle x^{2}-x-2=0}$;

${\displaystyle x_{1}=2,x_{2}=-1}$.

Очевидно, що ${\displaystyle -1}$ не може бути значенням вихідного радикала.

Тривіальні випадки

• Для квадратного кореня:

  ${\displaystyle {\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {a+b{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}}={\frac {b+{\sqrt {b^{2}+4a}}}{2}}}$;

• Для кореня степеня ${\displaystyle n}$

  ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{a+b{\sqrt[{n}]{\cdots }}}}}}}}}}=x,}$

  де ${\displaystyle x}$ є розв'язком рівняння ${\displaystyle x^{n}-bx-a=0}$.

Нетривіальні випадки

• Формула Рамануджана:

  ${\displaystyle x+n+a={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {a(x+2n)+(n+a)^{2}+(x+2n){\sqrt {\cdots }}}}}}}}}$

Окремі випадки

• Золотий перетин:

  ${\displaystyle \phi ={\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {\cdots }}}}}}}}}$

• Пластичне число:

  ${\displaystyle \rho ={\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{\cdots }}}}}}}}}$

• Число пі:

  ${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots }$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Вкладені радикали(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Квадратний корінь(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Decreasing the Nesting Depth of Expressions Involving Square Roots (англ.)
• Simplifying Square Roots of Square Roots [Архівовано 15 січня 2022 у Wayback Machine.] (англ.)