Булева алгебра з двома елементами

Булева алгебра з двома елементами — булева алгебра на булевій множині. Використовується в бінарній логіці.

Визначення

B - це частково впорядкована множина і елементи цієї множини є також її обмежені множини. Операція арності n це функція ${\displaystyle \ B^{n}\to B}$. Булева алгебра складається з двох бінарних операцій і унарної операції. Ця алгебра є фундаментом функціонування цифрових дискретних систем. Операція ${\displaystyle \lor }$ в такій алгебрі має назву "логічного АБО" (logical OR), операція ${\displaystyle \land }$ -- "логічного І" (logical AND), а елементам 1 та 0 ставляться у відповідність твердження "істина" (true) та "неправда" (false).

Деякі основні тотожності

• ${\displaystyle 0\lor 0=1\land 0=0\land 1=0}$
• ${\displaystyle 1\land 1=0\lor 1=1\lor 0=1}$
• ${\displaystyle 1\lor 1=1}$
• ${\displaystyle 0\land 0=0}$
• ${\displaystyle {\overline {1}}=0}$
• ${\displaystyle {\overline {0}}=1}$

Зверніть увагу:

• ${\displaystyle \land }$ і ${\displaystyle \lor }$працює так само, як в чисельній арифметиці, окрім того, що ${\displaystyle 1\land 1=1}$
• обмінявши 0 і 1, і '${\displaystyle \land }$' і '${\displaystyle \lor }$' отримаємо істину, саме в цьому полягає дуальність

• ${\displaystyle A\land A=A}$
• ${\displaystyle A\lor A=A}$
• ${\displaystyle A\land 0=A}$
• ${\displaystyle A\land 1=1}$
• ${\displaystyle A\lor 0=0}$
• ${\displaystyle {\overline {\lor }}{\overline {A}}=A}$

Виконується властивість дистрибутивності:

• ${\displaystyle \ A\lor (B\land C)=(A\lor B)\land (A\lor C);}$
• ${\displaystyle \ A\land (B\lor C)=(A\land B)\lor (A\land C)}$

• ${\displaystyle A\lor B={\overline {{\overline {A}}\land {\overline {B}}}}}$
• ${\displaystyle A\land B={\overline {{\overline {A}}\lor {\overline {B}}}}}$

• ${\displaystyle \ A\lor B\lor C=B\lor C\lor A}$
• ${\displaystyle {\overline {A}}A=1}$
• ${\displaystyle \ A\lor 0=A}$