Андрей Бурке є вихованцем футболу свого рідного міста Бакеу. З 2001 року він займався футболом у футбольній школі місцевого клубу «Бакеу». Де пізніше грав у молодіжній команді. На дорослому рівні Бурке продовжив грати у клубах міста Бакеу нижчих ліг. Коли у 2013 році Гласс Бакеу був змушений ліквідуватися через фінансові негаразди, Бурке хотів завершувати футбольну кар'єру і вступити до коледжу.[2] Але отримав запрошення від клубу румунської Ліги 1«Ботошані» і залишився у футболі.
У клубі футболіст провів три сезони і влітку 2019 року перейшов до складу ЧФР «Клуж»,[3] з яким вже в першому сезоні виграв свій перший трофей у футболі — титул чемпіона країни. Також у складі ЧФР Бурке дебютував на міжнародному рівні у матчах єврокубків.[4]