Розпочав займатись футболом в школі KSV Ankerbrot Montelaa. У 2007 році він прийшов до молодіжної школи «Аустрії» (Відень). У березні 2016 року він дебютував в за ублюючу команду в Регіоналлігі, у 18-му турі сезону 2015/16 зіграв проти клубу «Ферст Вієнна», вийшовши в компенсований час для Марко Златковича.
У сезоні 2016/17 Боркович, що зіграв на той момент лише три гри за дубль, був переведений до головної команди[1]. Його дебют в Бундеслізі відбувся у лютому 2017 року, коли він в 23-му турі в грі проти «Альтаха» вийшов в основі і в перерві був замінений на Домініка Прокопа.
Свій перший єврокубковий матч Боркович провів 24 серпня 2017 року у відбірковому матчі Ліги Європи 2017/18, програному проти «Осієка» (0:1)[2]. «Аустрії» все ж вдалося кваліфікуватися до групового етапу змагання, і саме там Боркович забив свій перший гол на професіональному рівні, 14 вересня проти «Мілана», але його команда програла 1:5[3]. 22 травня 2019 року Александр Боркович продовжив контракт зі своїм рідним клубом до 2022 року[4].
26 серпня 2020 року Боркович приєднався до німецького «Гоффенгайма»[5], втім виступав виключно за резервну команду у Регіоналлізі, через що у серпні 2021 року був відданий в оренду на два сезони до австрійського «Штурма» (Грац).
Виступи за збірну
2014 року дебютував у складі юнацької збірної Австрії до 15 років, після чого виступав за усі вікові категорії. Зі збірною до 17 років був учасником юнацького чемпіонату Європи, де зіграв в одному матчі проти Німеччини, а збірна дійшла до чвертьфіналу.
11 червні 2019 року дебютував за молодіжну збірну Австрії у товариському матчі проти Франції (3:1)[6]. Загалом за «молодіжку» провів 3 матчі.