Адіабатичний інваріант

Адіабатичний інваріант — величина, що не міняється при плавній «адіабатичній» зміні параметра фізичної системи. Адіабатичність зміни параметра означає те, що характерний час цієї зміни набагато більший за характерний час процесів, які відбуваються в самій системі.

Класична механіка

У класичній механічній системі, яка здійснює періодичний рух з періодом T і залежить від параметра ${\displaystyle \lambda \,}$, адіабатичність зміни параметра визначається умовою

${\displaystyle T{\frac {d\lambda }{dt}}<<\lambda }$.

Функція гамільтона системи залежить від її внутрішніх змінних та параметра

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}(q,p,t)}$

Внутрішні змінні q і p міняються з часом швидко, з періодом T. Але енергія системи E є інтергралом руху при незмінному параметрі. При зміні параметра

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}}$.

При усередненні цього виразу по часу впродовж періоду можна вважати, що параметр ${\displaystyle \lambda \,}$ незмінний.

${\displaystyle {\overline {\frac {dE}{dt}}}={\frac {d\lambda }{dt}}{\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}}$,

де усереднення визначене як

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}}={\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \lambda }}dt}$.

Зручно перейти від інтегрування по часу до інтегрування по змінній q:

${\displaystyle dt={\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}}$.

У такому випадку, період T дорівнює

${\displaystyle T=\oint {\frac {dq}{\partial {\mathcal {H}}/\partial p}}}$,

де інтегрування проводиться вперед і назад у межах зміни координати за період руху.

Записуючи імпульс, як функцію енергії E, координати q і параметра ${\displaystyle \lambda \,}$, після деяких перетворень можна отримати

${\displaystyle \oint \left({\frac {\partial p}{\partial E}}{\overline {\frac {\partial E}{\partial t}}}+{\frac {\partial p}{\partial \lambda }}{\frac {d\lambda }{dt}}\right)dq=0}$.

Остаточно, можна записати

${\displaystyle {\overline {\frac {dI}{dt}}}=0}$,

де величина

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\oint pdq}$,

і буде адіабатичним інваріантом. Інтеграл береться по траєкторії руху при заданих E та ${\displaystyle \lambda \,}$

Властивості адіабатичного інваріанту

Похідна від адіабатичного інваріанту по енергії дорівнює періоду, розділеному на ${\displaystyle 2\pi }$.

${\displaystyle 2\pi {\frac {\partial I}{dE}}=T}$

або

${\displaystyle {\frac {\partial E}{\partial I}}=\omega }$,

де ${\displaystyle \omega \,}$ — циклічна частота.

Адіабатичний інваріант можна, також виразити через площу, визначеному замкнутою траєкторією, в фазовому просторі

${\displaystyle I={\frac {1}{2\pi }}\int dpdq}$.

За допомогою канонічних перетворень можна зробити адіабатичний інваріант новою змінною, яка називається змінною дії. В новій системі змінних вона відіграє роль імпульсу. Канонічно спряжена до неї змінна називається кутовою змінною.