Інфрачервона розбіжність

Інфрачерво́на розбі́жність (інфрачерво́на катастро́фа) — ситуація нібито випромінювання нескінченно великої кількості фотонів з нескінченно малими енергіями при зіткненні двох заряджених частинок або різкій зміні швидкості зарядженої частинки. Є наслідком розбіжності інтеграла через внески об'єктів з дуже малою енергією (майже рівною нулю), або що те саме, через фізичне явище на дуже великих масштабах.

Інфрачервона розбіжність є лише в теоріях з безмасовими частинками (такими як фотони). Вони представляють законний ефект, який часто припускає повна теорія. Фактично, у випадку фотонів, енергія яких ${\displaystyle E=h\nu }$, де ${\displaystyle \nu }$ — частота, пов'язаною з частинкою, і коли вона наближається до нуля, як у випадку м'яких фотонів, знадобиться нескінченна кількість частинок, щоб отримати скінченну кількість енергії. Один зі способів боротьби з нею полягає в накладенні обрізання^[en].

Опис парадокса

Переріз процесу ${\displaystyle d\sigma }$ розсіювання заряджених частинок із випромінюванням одного додаткового фотона виражається формулою: ${\displaystyle d\sigma =d\sigma _{0}{\frac {dI}{\omega }}}$. Тут ${\displaystyle d\sigma _{0}}$ — переріз процесу розсіювання заряджених частинок із випромінюванням певної кількості фотонів, ${\displaystyle dI}$ — повна енергія випромінювання, ${\displaystyle \omega }$ — частота випромінювання. При інтегруванні цієї формули за частотами в деякому кінцевому інтервалі від ${\displaystyle \omega _{1}}$ до ${\displaystyle \omega _{2}}$ виходить ${\displaystyle d\sigma \sim \alpha \ln {\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}}d\sigma _{u}}$, де ${\displaystyle d\sigma _{u}}$ — перетин розсіювання пружного процесу. Можна приблизно вважати, що ${\displaystyle \omega _{2}}$ приблизно дорівнює початковій енергії частинки, яка випромінює. Але величину ${\displaystyle \omega _{1}}$ можна зробити як завгодно близькою до нуля. Як наслідок, переріз випромінювання всіх можливих м'яких фотонів прямує до нескінченності[1].

За іншого способу обчислення середньої кількості фотонів при різкій зміні швидкості зарядженої частки: ${\displaystyle {\bar {n}}\sim \ln {\frac {L}{\lambda }}}$, де ${\displaystyle L,\lambda }$ — найбільша та найменша частоти інтегрування. При ${\displaystyle \lambda \rightarrow 0}$ отримуємо, що ${\displaystyle {\bar {n}}\rightarrow \infty }$, так що завжди випромінюється нескінченно багато фотонів нульової частоти[2].

Пояснення парадокса

Середня кількість випромінених фотонів ${\displaystyle d{\bar {n}}={\frac {dI}{\omega }}}$, де ${\displaystyle dI}$ — класична інтенсивність випромінювання, ${\displaystyle \omega }$ — частота випромінювання. Інтегруючи цю формулу, отримуємо: ${\displaystyle {\bar {n}}=\int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}{\frac {dI}{\omega }}}$. Оскільки м'які фотони випромінюються статистично незалежно, ймовірність ${\displaystyle \omega (n)}$ випромінювання ${\displaystyle {\bar {n}}}$ фотонів виражається через їхнє середнє число формулою Пуассона ${\displaystyle \omega (n)={\frac {{\bar {n}}^{n}}{n!}}\exp(-{\bar {n}})}$. Переріз процесу розсіювання з випромінюванням фотонів можна подати у вигляді: ${\displaystyle d\sigma =d\sigma _{u}\omega (n)}$. Оскільки ${\displaystyle \sum \omega (n)=1}$, то ${\displaystyle d\sigma _{u}}$ є повним перерізом розсіювання, що супроводжується будь-яким м'яким випромінюванням. Переріз чисто пружного розсіювання насправді дорівнює нулю. При ${\displaystyle \omega _{1}\to 0}$ середнє число ${\displaystyle {\bar {n}}\to \infty }$ і, згідно з формулою Пуассона, обертається на нуль можливість випромінювання будь-якого скінченного числа фотонів[1].

Фізичною причиною парадокса є припущення про нескінченний радіус дії кулонівського поля, що призводить до неадекватності фотонної картини для дуже великих довжин хвиль. Для виконання умови ${\displaystyle {\bar {n}}>1}$ довжини хвиль повинні мати довжину більше ${\displaystyle e^{\frac {1}{\alpha }}{\frac {\hbar }{mc}}}$, що значно більше радіусу спостережуваної частини Всесвіту. Таким чином цей парадокс має суто теоретичне значення[2].

Див. також

• Однопетльова діаграма Фейнмана
• Перенормування
• Ренормгрупа
• Ультрафіолетова розбіжність

Примітки

1. В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский Квантовая электродинамика. — М., Физматлит, 2001. — c. 482—488
2. Вальтер Е. Тирринг Принципы квантовой электродинамики. — М., Высшая школа, 1964. — с. 105—109

Література

• Kaku, Michio. Quantum Field Theory: A Modern Introduction. — New York : Oxford University Press, 1993. — ISBN 0-19-507652-4.
• Claude Itzykson, Jean-Bernard Zuber. Quantum Field Theory. — McGraw-Hill Education, 1980. — С. 172/3. — ISBN 0-07-032071-3.